còn đây là vòng 2
Đề thi HSG Ninh Bình (Vòng 2)
Câu 1 (5 điểm)
a) Tìm đa thức f(x) khác đa thức không, có hệ số hữu tỉ và có bậc nhỏ nhất thỏa mãn: f(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}) = 4\sqrt[{3}]{3} + \sqrt[3]{9}
b) Cho hai số nguyên dương p,q \ge 1, nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho (pq-1)^k+1 là hợp số với mọi số nguyên dương n.
Câu 2 (5 điểm)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn
\left\{ \begin{array}{l}
1 \le a,b,c \le 4 \\
abc \le 8 \\
\end{array} \right.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \frac{2}{b} + \frac{4}{c}
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = a + b + c .
Câu 3 (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn:
f(x + y) + f(xy) = f(x) + f(y) + f(x)f(y),{\rm{ }}\forall x,y \in R
Câu 4 (4 điểm)
Cho lục giác lồi ABCDEFcó AB = BC, CD = DE, EF = FA. Chứng minh rằng:
\frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{BE}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{DE}}}}{{{\rm{DA}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{FA}}}}{{{\rm{FC}}}} \ge \frac{3}{2}
Câu 5 (2 điểm)
Trong một lưới ô vuông có 2010 dòng, 2010 cột, người ta viết vào các ô vuông các số tự nhiên từ 1 đến 4040100 theo cách như sau: ở dòng thứ nhất, từ trái sang phải, viết các số từ 1 đến 2010; ở dòng thứ hai, từ trái sang phải, viết các số từ 2011 đến 4020; cứ như vậy cho đến hết dòng thứ 2010. Sau đó cắt bảng hình vuông thành những hình chữ nhật cỡ 1 x 3 (gồm ba ô liên tiếp trên 1 dòng) hoặc 3 x 1 (gồm ba ô liên tiếp trên 1 cột). Trong mỗi hình chữ nhật người ta tính tổng các tích của hai trong ba số (gọi ba số trong hình đó là a,b,c người ta tính ab + bc + ca) sau đó tính tổng các kết quả của tất cả các hình chữ nhật được số S. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của S.
nhân dây cho hỏi bạn trung là ai thế có ở NB ko
------------------------------
đây là vòng 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NINH BÌNH NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN - VÒNG 1
THỜI GIAN LÀM BÀI 180 PHÚT
Bài 1
a) Tìm m để đồ thị hàm số y= x^3-3x-m cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
b) Cho a, b, c là các số thục thỏa mãn
a<b<c
a+b+c=0
ab+bc+ac=-3
CMR -2<abc<2 và -2<a<-1<b<1<c<2
c) Tìm các điểm trên Oy kẻ đến đồ thị hàm số y=2x+\sqrt{16x^2+4x+1} đúng 1 tiếp tuyến
Bài 2
a) Giải hệ phương trình
x^2=y+a
y^2=z+a
z^2=x+a
(Trong đó 0<a<1)
b)Từ 1 nhóm gồm 20 học sinh trường A, 25 học sinh trường B, 28 học sinh trường C có bao nhiêu cách chọn 22 học sinh sao cho mỗi trường có ít nhất 1 học sinh
Bài 3
Cho dãy (u_n)
u_1=\frac{1}{2}
n_{n+1}=\frac{3}{2}u_n^2-\frac{1}{2}u_n^3
CMR dãy (u_n) có giới hạn . Tìm giới hạn đó
Bài 4
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V, Diện tích các tam giác ABC , ABD lần lượ là S_1, S_2. Gọixlà số đo góc tạo bởi 2 mặt phẳng (ABC) và (ABD). M là 1 điểm thuộc cạnh CD sao cho khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng (ABC) và(ABD) bằng nhau
a)CMR V=\frac{2S_1.S_2sinx}{3AB} và \frac{CM}{DM}=\frac{S_1}{S_2}
b)Tính diện tích tam giác AMB theo V, S_1, S_2, x
Bài 5
Cho f(x): N*\rightarrow N*
f(xy)=f(x).f(y) với mọi x, y thỏa mãn (x,y)=1
f(x+y)=f(x)+f(y) với x, y là các bộ số nguyên tố
Tính f(2), f(3), f(2009)