Điểm bất động

[Talent]

Cái này em hỏi chỉ để biết thêm ai có cm thì post lên giúp em nhé.
Hôm trước học tổ hợp thày giáo có nhắc đến ánh xạ liên tục và bài toán thế này
1)Xét ánh xạ liên tục f: D_2 \to D_2 .
CMR f có điểm bất động.
2) Xét ánh xạ liên tục f:B_2 \to B_2
CMR f có điểm bất động.

[99]

D_2,B_2 là gì vậy ?

[Talent]

D_2 là hình tròn
B_2 là hình cầu .
Cái này là định lí cớ bản của Topo thì phải.

[99]

Talent có thể đọc ở đây :
[Only registered and activated users can see links]

[mathvn]

Cái này em hỏi chỉ để biết thêm ai có cm thì post lên giúp em nhé.
Hôm trước học tổ hợp thày giáo có nhắc đến ánh xạ liên tục và bài toán thế này
1)Xét ánh xạ liên tục f: D_2 \to D_2 .
CMR f có điểm bất động.
2) Xét ánh xạ liên tục f:B_2 \to B_2
CMR f có điểm bất động.
Bạn có thể tham khảo chứng minh trong quyển sách tiếng việt: "Các định lý điểm bất động" của PGS.TSKH Đỗ Hồng Tân xuất bản năm 2003.

Tiện đây mình giới thiệu một số định lý điểm bất động của ánh xạ liên tục.
Bắt đầu là định lý của Brouwer (1910). Nguyên lý Brouwer là định lý trung tâm của lý thuyết điểm bất động,đó cũng là một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến.Định lý này được Brouwer chứng minh năm 1910 dựa vào công cụ tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục.

Nguyên lý điểm bất động Brouwer(1910)
Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng đơn vị trong R^n vào chính nó đều có điểm bất động.

Sau đó người ta tìm cách mở rộng trên các không gian

Schauder (1930) Không gian Banach
Cho M là một tập con lồi khác rỗng của không gian BanachX. ChoN là một tập con compact cua M. Cho f: M\to N là một hàm liên tục. Khi đó tồn tại x\in M sao cho x=f(x)

Tychonoff (1935) Không gian lồi địa phương
Cho C là một tập hợp lồi, compact trong không gian lồi địa phương tách (X,P), T:C\to C là ánh xạ liên tục. Khi đó T có điểm bất động.

Một giả thiết Schauder 1935 là có thể bỏ giả thiết "lồi địa phương" trong định lý được không? Và câu hỏi này đã được một nhà toán học người Ba Lan T.Dobrowolski trả lời đăng trên tạp chí " Abstract Applied Analysis " năm 2003, nhưng người ta vẫn chưa thể kết luận chứng minh đưa ra chính xác hoàn toàn chưa. Vì thứ nhất chứng minh quá khó hiểu, thứ hai T.Dobrowolski không phải là chuyên gia về lý thuyết điểm bất động.

Và định lý điểm bất động đối với ánh xạ liên tục được mở rộng cho lớp ánh xạ đa trị.

Kakutani (1941)
Cho M\subset R^n là tập lồi compact. Cho F: M\to M là hàm nửa liên tục trên, với mỗi x \in M, F(x) là tập lồi. Thì tồn tại x^*\in M sao cho x^*\in F(x^*)

Ky Fan 1952, Glicksberg 1952
Cho M là một tập lồi compact khác rỗng của không gian vectơ topô lồi Hausdorff. Cho F: M\to M là ánh xạ nửa liên tục trên, với mỗi x\in M, F(x) là tập lồi. Thì tồn tại x^*\in F(x^*)

Và hiện tại lý thuyết điểm bất động đối với ánh xạ liên tục đã được mở rộng đến không gian metric siêu lồi (M.A.Khamsi 1996), không gian trắc địa (W.A.Kirk 2003), không gian R- cây (W.A. Kirk 2004).

[bookworm_vn]

Còn các định lý khác nữa, ví dụ Krasnoselskii, cho các tập có tính chất nón,...?

[galmotcoh]

Còn nhiều định lý nữa, Lefschetz fixed point formula chẳng hạn. Let $X$ be a scheme of finite type/k, where k = \bar{k}. By using etale cohomology, we define the l-adic cohomology as

H^i(X,\mathbb{Q}_{\ell}) = \lim_{\leftarrow} H^i_{et}(X,\mathbb{Z}/\ell^r \mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell}.

If f:X \rightarrow X is a morphism, which has isolated fixed points, then the number of such points is given by

L(f,X) = \sum_i (-1)^i Trace(f^{\cdot} ; H^i(X,\mathbb{Q}_{\ell})) .

Here, f^{\cdot} : H^i(X,\mathbb{Q}_{\ell}) \rightarrow H^i(X,\mathbb{Q}_{\ell}) is the natural induced homomorphism on cohomology.

[Doraemon]

Cao siêu thế? Bác galmotcoh cho em hỏi cái định lý bác nêu thì điểm bất động nó nằm chỗ nào? Bác giải thích rõ hơn đc ko?

[galmotcoh]

À có gì đâu, xét 1 ví dụ cụ thể là thấy điểm bất động thôi. Tuy nhiên định lý Lefschetz không cho ta biết đâu là điểm bất động, mà chỉ cho ta biết số các điểm bất động. Xét 1 ví dụ cụ thể X là 1 algebraic surface over \mathbb{C} đi, như ta biết vậy thì fixed locus của nó gồm 1 số các đường cong đại số trơn C_1,...,C_n và các điểm isolated P_1,...,P_m. Gọi g: X \rightarrow X là 1 automorphism với finite order, vậy thì theo Lefschetz we have then

\sum_i Trace (g^{\cdot} ; H^i(X,\mathbb{C})) = \chi(Fix_g(X))

Dễ thấy Euler-Poincare characteristic của fixed locus sẽ bằng

\sum_{i=1}^n \chi(C_i) + m.

Với đường cong đại số trơn thì Euler-Poincare characteristic được cho bởi \chi(C) = 2 - 2g_C (áp dụng Poincare đối ngẫu, sau đó dùng Hodge decomposition, rồi áp dụng lần nữa Serre-Duality).

Now let us establish a concret example. Take X as a cubic surface, say for example X is given by a homogenous polynomial F = w^2 F_1(x,y,z) +x^3 +y^3 + z^3 + axyz, với L_1 là linear form. a là 1 parameter. Gọi g : \mathbb{P}^3 \rightarrow \mathbb{P}^3 an automorphism (which comes from PGL_4). We know cubic surface can be embbed in \mathbb{P}^3. In our case, one sees g = diag(1,1,1,\zeta_2), where \zeta_2 là căn bậc 2 của đơn vị. Áp dụng g, we have then fixed locus is given by an elliptic curve E and an isolated point (0:0:0:1) \in \mathbb{P}^3. Now topological Lefschetz fixed point gives us then \chi(Fix_g(X)) = 1.

Another example (nhưng khó hơn rất nhiều), đó là Weil conjecture. Chứng minh của Deligne cũng dựa trên Lefschetz fixed point formula. For more details you can see in Milne (Etale cohomology).

[mathematicae]

Định lí Lefschetz có chứng minh đầy đủ trong quyển của Dugundji. Nếu có thời gian tìm hiểu bạn sẽ thấy đây là một lĩnh vực về topo hình học và đại số cả giải tích nữa

[mathematicae]

À! Gần đây vào 2005 thì Robert Cauty có đăng một một bài báo trên Serdica, trong đó ông ta mở rộng kết quả của Lefschetz và đồng thời giải quyết được giả thuyết Schauder. Nhưng hiện nay vẫn chưa ai khẳng định là công trình đó đúng hay sai. Trước đó Cauty đã có một chứng minh sai về giả thuyết này vào năm 2001.

[mathvn]

Định lí Lefschetz có chứng minh đầy đủ trong quyển của Dugundji. Nếu có thời gian tìm hiểu bạn sẽ thấy đây là một lĩnh vực về topo hình học và đại số cả giải tích nữa

Quyển này tên là "Fixed point theory and applications". mới tái bản hơn 700p thì fải.
Con Điểm bất động trong topo hình học thì nhiều sách lắm.

1.Fixed Point Theory for Decomposable Sets (Topological Fixed Point
Theory and Its Applications) (Andrzej Fryszkowski)


2.Homotopy Methods in Topological Fixed and Periodic Points Theory


3.Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings (Topological
Fixed Point Theory and Its Applications) (Lech Górniewicz)
toi co 3 quyen tren ai can toi share cho.


5.Handbook of Topological Fixed Point Theory