Tiếp bdt

[dlt5]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1
C/m:{\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1 +c)^3}}\geq\frac{3}{8}

[n.t.tuan]

Nó là Việt Nam TST 2005.

[Trung Phương]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1
C/m:{\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1 +c)^3}}\geq\frac{3}{8}

Khổ nỗi nó là Vietnam TST 2005,...
Dùng đánh giá (a+b)^3 \leq 4(a^3+b^3)
VT \geq \sum_{a,b,c}\frac{1}{4(1+a^3)}
Từ đó đặt a^3=x; b^3=y; c^3=z ta CM
\sum_{x,y,z} \frac{1}{1+x} \geq \frac{3}{2}
Ko mất tổng quát giả sử x+y+z\geq xy+yz+zx
(Nếu x+y+z \leq xy+yz+zx thì đặt x=1/u; y=1/v; z=1/w được
u+v+w\geq uv+uw+vw, tương tự)
Khai triển, thu gọn sử dụng giả sử => dpcm

[chien than]

Đặt x=\frac{b}{a} ,y=\frac{c}{b},z=\frac{a}{c} thì xyz=1
Ta cần CM
\sum \frac{1}{(x+1)^2} \ge \frac{3}{4}.
Không mất tính TQ giả sử xy \ge 1, \ z \le 1
Ta có
\frac{1}{(1+x)^2} + \frac{1}{(1+y)^2} \ge \frac{1}{1+xy} = \frac{z}{z+1}
và \frac{z}{z+1} +\frac{1}{(1+z)^2} \ge \frac{3}{4}

[Mather]

Hic,cu Chiến Thần làm bài nào thế :facebowling:
Bài này dùng 2 BDT
\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{8}\ge \frac{3}{(1+x)^2}
Và \frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}\ge \frac{1}{1+ab}