Xác định tập hợp

[nguyentatthu]

Cho A là tập hữu hạn các số thực thỏa mãn các tính chất sau:
1) A có không ít hơn 4 phần tử
2) Nêu a,b,c,d thuôc A thì ac+bd cũng thuộc A
Hãy xác định A

[psquang_pbc]

Nếu 0\in A. Từ đó với b,d\in A thì bd\in A

Hiển nhiên, nếu có b\not=d>0\in A ,b,d\not=1 thì bd<\min(b,d) hoặc bd>\max(b,d).Cứ thế ta sẽ có A có 1 dãy vô hạn các số dương tăng ( hoặc giảm ) vô hạn, vô lí.

Từ đó chỉ có nhiều nhất 1 số dương hoặc có 2 số dương nhưng 1 số bằng 1.
Do |A|\ge 4 nên A sẽ chứa ít nhất 1 số âm. Khi chỉ có 1 số âm là a thì a=-1, số dương kia nếu có cũng bằng 1 , vô lí !. Nếu có 2 số âm thì các số dương buộc phải bằng 1 . Nếu có nhiều hơn 2 số âm thì sẽ có 3 số dương, điều này mâu thuẫn !

Vậy o\not \in A. Do chỉ có không quá 3 số dương nên số số âm không quá 3. Xét số dương a bất kì, khi đó :
-Nếu có 2 số âm thì a=1
-Nếu chỉ có 1 số âm b thì :
+ Nếu có 2 số dương thì b=-1 hoặc 1 vô lí.
+Nếu có 1 số dương thì |A|<4 vô lí !.

Vậy không tồn tại A

[nguyentatthu]

A={ 1,0,x,\frac{1}{x} } thỏa mãn điều kiện mà Quang