Đề thi đội tuyển THPT chuyên Lê Khiết

[Coloveka]

B1/

Giải pt:

2sin2x-3\sqrt{2}sinx+\sqrt{2}cosx-5=0

B2/

a/Cho tập X gồm 20 số tự nhiên liên tiếp .

CMR có 2 tập A,B là tập con chứa ít hơn 8 phần tử của X thỏa mãn các điều

kiện sau:

i)A,B không có phần tử chung

ii)A,B không chứa 2 phần tử nào là hai số tự nhiên liên tiếp

iii)Hiệu tổng nghịch đảo các phần tử của A với B nhỏ hơn \frac{2}{3431}

b/Cho p là số nguyên tố.

CMR tồn tại số tự nhiên n>2thỏa mãn 2^{n}-n\vdots p

B3/

Tìm cực trị của hàm số:

f(x)=0 với x=0

f(x)=e^{-\frac{1}{\left | x \right |}}( \sqrt{2}+sin{\frac{1}{x}}) với x\neq 0


B4/

Giải pt hàm liên tục sau :

f(\frac{x+y}{2})^{2}=f(x)f(y)

Còn 2 bài rảnh post tiếp !

[Nhok_Kelly]

Hehe có bài 1 ngon ăn nè :oho:
2\sin2x - 3\sqrt{2}\sin x + \sqrt{2}\cos x - 5 =0 \\ \Leftrightarrow 2\left(\sin2x - \sqrt{2}\sin x + \sqrt{2}\cos x - \frac{3}{2}\right) - \sqrt{2}(\sin x + \cos x) -2 = 0 \\ \Leftrightarrow \sin2x - \sqrt{2}(\sin x - \cos x) - \frac{3}{2} - \left(\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+ 1\right) = 0
Đặt \sin x-\cos x=t \Rightarrow \sin2x=1-t^2
Ta được:
\left(1-t^2-\sqrt{2}t-\frac{3}{2}\right)-\left[\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+1\right]=0 \\ \Leftrightarrow \left(t+\frac{1}{\sqrt2}\right)^2+\sin\left(x+ \frac{\pi}{4} \right)+1=0 \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t+\frac{1}{\sqrt2}=0 \\ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt2(\sin x - \cos x)=-1 \\ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1 \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{-1}{\sqrt2} \\ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1 \end{matrix}\right.
(Vô nghiệm)
Vậy PT đã cho vô nghiệm :oho:

[yugioh_vt1993]

Bài 4 lấy ln 2 vế ta đưa về phương trình hàm jensen.
f(x)=e^{ax+b}

học gõ Latex cẩn thận vào: [Only registered and activated users can see links]

[yugioh_vt1993]

Ai giải dùm bài 2 đi.

[nam1994]

Đề này cũng không khó lắm bài số n=(pk+1)(p-1)
bạn post nốt 2 bài nữa lên đc ko:)

[yugioh_vt1993]

Anh ơi,anh giải chi tiết được không ạ,bài tổ hợp luôn =P~

[Thien tai]

Bạn post lại đề bài 4 đi đề PTH mà post thế giải làm sao được:(:eyecancer:

[Coloveka]

Đề này cũng không khó lắm bài số n=(pk+1)(p-1)
bạn post nốt 2 bài nữa lên đc ko:)
B5/
Cho \Delta ABC và điểm M nằm trong
đó.CMR:\frac{MA}{a^{2}}+\frac{MB}{b^{2}}+\frac{M C}{c^{2}}\geq \frac{1}{R}
với a,b,c,R lần lượt là độ dài các cạnh BC,CA,AB và bán kính đường tròn ngoại tiếp.
B6/
Cho hình chữ nhật ABCD với kích thước a,bvà tứ giác MNPQ với các đỉnh nằm trên các cạnh của hình chữ nhật.Tìm GTNN của chu vi tứ giác MNPQ

Đề này mình làm vã mồ hôi, thế mà tụi 11 bảo dễ. Khiếp thật !

Bạn post lại đề bài 4 đi đề PTH mà post thế giải làm sao được
B4/
Giải pt hàm sau đây:f(\frac{a+b}{2})^{2}=f(a)f(b)
biết f(x) liên tục.
Đ/s là f(x)=0,\forall x\in R,f(x)=e^{ax+b},\forall x\in R,f(x)=-e^{ax+b},\forall x\in R.

[truongvoki_bn]

Đề này cũng không khó lắm bài số n=(pk+1)(p-1)
bạn post nốt 2 bài nữa lên đc ko:)
Bạn xem lại hộ mình cái :-h:-h
Anh ơi,anh giải chi tiết được không ạ,bài tổ hợp luôn =P~

Thì chỉ dùng định lý Fecma nhỏ là được
Chọn n sao cho n sao cho n chia hết cho p-1 và n chia p dư 1 là ổn
khi đó n=(pk-1)(p-1)
thật vậy khi đó 2^n-n=(2^{(pk-1)(p-1)}-1)-((pk-1)(p-1)-1) theo định lý Fecma nhỏ ta có được p|2^n-n với n=(pk-1)(p-1)

[truongvoki_bn]

B1/


B4/

Giải pt hàm liên tục sau :

f(\frac{x+y}{2})^{2}=f(x)f(y)




Dễ thấy f(x)\equiv 0 là 1 nghiệm
Và nếu f(x) là một nghiệm thì -f(x) cũng là một nghiệm
Do vậy ta chỉ xét f(x)>0 với mọi x thuộc R
Đặt f(x)=e^{g(x)}
Khi đó ta có g(x) cũng liên tục trên R
và g(\frac{x+y}{2})=\frac{g(x)+g(y)}{2}
Theo phương trình hàm Jensen hoặc theo pt hàm cosi mở rộng ta được g(x)=ax+b
=> f(x)=e^{ax+b}
Vậy có 3 hàm t/m:
f(x)\equiv 0
f(x)=e^{ax+b};f(x)=-e^{ax+b} với a;b là các số thực
p/s: Bài số lẽ ra nên hỏi là tồn tại vô số số n thì hay hơn

[crystal_liu]

Bạn xem lại hộ mình cái :-h:-h


Thì chỉ dùng định lý Fecma nhỏ là được
Chọn n sao cho n sao cho n chia hết cho p-1 và n chia p dư 1 là ổn
khi đó n=(pk-1)(p-1)
thật vậy khi đó 2^n-n=(2^{(pk-1)(p-1)}-1)-((pk-1)(p-1)-1) theo định lý Fecma nhỏ ta có được p|2^n-n với n=(pk-1)(p-1)
Bài này có lẽ đúng thì phải là cm tồn tại vô số dạng trên.(Canada1983):d

[huynhcongbang]

B6/
Cho hình chữ nhật ABCD với kích thước a,bvà tứ giác MNPQ với các đỉnh nằm trên các cạnh của hình chữ nhật.Tìm GTNN của chu vi tứ giác MNPQ
Bài này có thể giải bằng đại số như sau:
Giả sử M, N, P, Q lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA.
Đặt AM = x, BN = y, CP = z, DQ = t, 0 \le x, z \le a; 0 \le y,t \le b.
Chu vi của tứ giác MNPQ chính là:
T = \sqrt{x^2+(b-t)^2}+\sqrt{y^2+(a-x)^2}+\sqrt{z^2+(b-y)^2}+\sqrt{t^2+(a-z)^2}
Ta có BĐT: \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \ge \sqrt{(a+b)^2+(c+d)^2}.
Suy ra:
T \ge \sqrt{(x+z)^2+(2b-y-t)^2}+\sqrt{(y+t)^2+(2a-x-z)^2} \\\ge \sqrt{(x+z+2a-x-z)^2+(y+t+2b-y-t)^2}=2\sqrt{a^2+b^2}.
Vậy GTNN cần tìm là 2\sqrt{a^2+b^2} đạt được khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh.

Bài này có thể giải theo cách lấy đối xứng qua các cạnh 1 cách thích hợp và tìm độ dài nhỏ nhất của đường gấp khúc.