Đề thi chọn HSG tỉnh Đồng Nai năm 2010-2011

[sonltv_94]

Câu 1 : Giải phương trình trên tập số thực: x^5-x^4-x^3-11x^2+25x-14 = 0
Câu 2:
Cho a;b;c > 0.Chứng minh rằng:
\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} \geq \dfrac{3(a+b+c)}{2(a^2+b^2+c^2)}
Câu 3:
Giải phương trình: sin(x + \dfrac{\pi}{4}).(sin3x)^3 + cos(3x + \dfrac{\pi}{4}).(cosx)^3 =0
Câu 4:
Cho m;n là 2 số nguyên dương chẵn,u;v là 2 số nguyên dương lẻ sao cho m^2 - n^2 = u^2 - v^2 > 0.Chứng minh (m^2+v^2) là hợp số
Câu 5:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A_1B_1C_1D_1 có đáy ABCD là hình vuông.M di động trên đoạn AB (0 < AM < AB).Lấy N thuộc cạnh A_1D_1 sao cho A_1N=AM.Chứng minh:
MN luôn cắt và vuông góc với một đường thẳng cố định khi M thay đổi

[minhkhac_94]

Câu 2:
Cho a;b;c > 0.Chứng minh rằng:
\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} \geq \dfrac{3(a+b+c)}{2(a^2+b^2+c^2)}

Chém câu dễ

VT\sum{\frac{1}{a+b} \geq \frac{9}{2(a+b+c)} \geq VP

[Anne™]

Câu 1:
\Leftrightarrow (x-2)\left \{(x-1)^2\left [(x+\frac{3}{2})^2+\frac{15}{4}\right ]+1 \right \}=0
\Leftrightarrow x=2

[n.v.thanh]

Câu 4:bt tương đương m^2+v^2=n^2+u^2 gs là số nguyên tố suy ra nó có 2 cách biểu diễn thành bf khác nhau->vô lý(bt quen thuộc trên MS)
Đề này chắc Anh Khoa ra sơm rồiB-)

[Anne™]

Câu 5: Xem hình:

[Only registered and activated users can see links]

[badboy1611]

=)). Khoa em làm đc 4 bài. Bài 1 có thể xét đạo hàm cg~ ra :D

[n.v.thanh]

CÒn bài Lượng à.Ai làm dc pót cái:))

[nbkschool]

Bài 1 mình đúng bệnh!:matrix: Mình làm như sau:
\leftrightarrow (x-2)(x^4+x^3+x^2-9x+7)=0
Xét cái phương trình bậc 4 kia.Đặt y=x-1.Đặt z=\frac{1}{y} suy ra:
z^4+10z^2+5z+1=0.
Vô lý do z^4 \geq 0 và 10z^2+5z+1>0.
Thực ra mình cứ nghĩ là có nghiệm trong khoảng (1,2)nên cứ loay hoay ẩn phụ.Lại còn lôi cả Ferrari vào :eyecancer: Cuối cùng mới thấy nó >0.Mất hơn cả tiếng vô bổ.

Bài 5 Sơn xài định lý E.R.I.Q trong không gian hả em B-)

[namdung]

CÒn bài Lượng à.Ai làm dc pót cái:))

Dùng phương pháp phương trình tích. Sử dụng
cos3x - sin3x = (cosx+sinx)(1 - 2sin2x)

[kiengnho]

Dùng phương pháp phương trình tích. Sử dụng
cos3x - sin3x = (cosx+sinx)(1 - 2sin2x)

Cho em hỏi em ra sinx+cosx=0 thì phương trình còn lại =0 sao giải ạ?
Em không biết giải pt còn lại...>_<

[sonltv_94]

Anh cứ chọc em.Em chỉ làm được 2,5 bài thôi.Bài 1 làm ra tới bảng biến thiên r lại quên mất.Còn bài 5 thì em làm như bạn Anne nhưng hơi tắt.Tóm lại là không khả quan

[nguyentatthu]

Dùng phương pháp phương trình tích. Sử dụng
cos3x - sin3x = (cosx+sinx)(1 - 2sin2x)
Hoặc có thể giải bằng hàm số
Ta xét cosx.sin3x \neq 0
PT <=> \frac{sinx+cosx}{cos^3x}=\frac{sin(\pi-3x)+cos(\pi-3x)}{sin^3(\pi-3x)}
<=> f(tan(\frac{\pi}{2}-x))=f(tan(\pi-3x))
Trong đó f(t)=(1+t^2)(1+t) là một hàm đồng biến
------------------------------
Bài 1 mình đúng bệnh!:matrix: Mình làm như sau:
\leftrightarrow (x-2)(x^4+x^3+x^2-9x+7)=0
Xét cái phương trình bậc 4 kia.Đặt y=x-1.Đặt z=\frac{1}{y} suy ra:
z^4+10z^2+5z+1=0.
Vô lý do z^4 \geq 0 và 10z^2+5z+1>0.
Thực ra mình cứ nghĩ là có nghiệm trong khoảng (1,2)nên cứ loay hoay ẩn phụ.Lại còn lôi cả Ferrari vào :eyecancer: Cuối cùng mới thấy nó >0.Mất hơn cả tiếng vô bổ.

Bài 5 Sơn xài định lý E.R.I.Q trong không gian hả em B-)
Khoa làm xong cả không?

[huynhcongbang]

Hoặc có thể giải bằng hàm số
Ta xét cosx.sin3x \neq 0
PT <=> \frac{sinx+cosx}{cos^3x}=\frac{sin(\pi-3x)+cos(\pi-3x)}{sin^3(\pi-3x)}
<=> f(tan(\frac{\pi}{2}-x))=f(tan(\pi-3x))
Trong đó f(t)=(1+t^2)(1+t) là một hàm đồng biến

Em nghĩ bài này chỉ có thể giải theo cách này thôi chứ nếu rút nhân tử ra thì phương trình còn lại không biết giải theo cách nào cả. :))

[manhnguyen94]

Bài 1 mình đúng bệnh!:matrix: Mình làm như sau:
\leftrightarrow (x-2)(x^4+x^3+x^2-9x+7)=0
Xét cái phương trình bậc 4 kia.Đặt y=x-1.Đặt z=\frac{1}{y} suy ra:
z^4+10z^2+5z+1=0.
Vô lý do z^4 \geq 0 và 10z^2+5z+1>0.
Thực ra mình cứ nghĩ là có nghiệm trong khoảng (1,2)nên cứ loay hoay ẩn phụ.Lại còn lôi cả Ferrari vào :eyecancer: Cuối cùng mới thấy nó >0.Mất hơn cả tiếng vô bổ.

Bài 5 Sơn xài định lý E.R.I.Q trong không gian hả em B-)

Vô thi ko có máy tính mà làm cách này thì khổ lắm
Dễ thầy BDT AG-GM kìa:))
x^{2} +1\geq 2x;x^{3}+2\geq 3x;x^{4}+3\geq 4x
do đó cái đó >0

[hung95]

Hoặc có thể giải bằng hàm số
<=> f(tan(\frac{\pi}{2}-x))=f(tan(\pi-3x))
Trong đó f(t)=(1+t^2)(1+t) là một hàm đồng biến
sao suy ra đc cái này ak?
em nghĩ phải là
<=> f(tan(\frac{\pi}{2}-x))=f(cot(\pi-3x))

[tinnguyen]

Vô thi ko có máy tính mà làm cách này thì khổ lắm
Dễ thầy BDT AG-GM kìa:))
x^{2} +1\geq 2x;x^{3}+2\geq 3x;x^{4}+3\geq 4x
do đó cái đó >0
Thoạt nhìn thì tưởng đúng nhưng x^3+2 >=3x là cần xem lại đấy.

[huynhcongbang]

sao suy ra đc cái này ak?
em nghĩ phải là
<=> f(tan(\frac{\pi}{2}-x))=f(cot(\pi-3x))
Để mình cụ thể hóa gợi ý của thầy Thu:
Trước hết, ta thấy rằng \cos x = 0 hoặc \sin 3x=0 không thỏa mãn phương trình.
Xét: \cos x . \sin 3x \neq 0.
\sin(x+\frac{\pi}{4}).\sin^3(3x)+\cos(3x+\frac{\pi }{4}).\cos^3 x=0\\\Leftrightarrow (\sin x+\cos x).\sin^3(3x)+(\cos 3x-\sin 3x).\cos^3x=0\\ \Leftrightarrow \frac{(\sin x+\cos x)}{\cos^3 x}=\frac{(\sin 3x-\cos 3x)}{\sin^3 3x}\\\Leftrightarrow \frac{(\sin x+\cos x)}{\cos^3 x}=\frac{\sin (\pi-3x)+\cos (\pi-3x)}{\sin^3 (\pi - 3x)}\\\Leftrightarrow (\tan x+1)(1+\tan^2x)=(\cot(\pi-3x)+1)(1+\cot^2 (\pi-3x)).
Xét hàm số:
f(t)=(t+1)(t^2+1)=t^3+t^2+t+1,t \in \mathbb{R}\Rightarrow f'(t)=3t^2+2t+1>0, \forall t
nên đây là hàm đồng biến.
Từ đề bài, suy ra:
f(\tan x)=f(\cot (\pi - 3x))\Leftrightarrow \tan x = \cot (\pi - 3x)\Leftrightarrow \tan x = \tan (3x - \frac{\pi}{2})\\\Leftrightarrow x = 3x - \frac{\pi}{2} + k.\pi\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} - k.\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}.

[manhnguyen94]

Thoạt nhìn thì tưởng đúng nhưng x^3+2 >=3x là cần xem lại đấy.

Dễ thấy x>o thì nó đúng
Còn nếu x<0 thì
x^{4}+x^{2}+x^{3} >=0
Và 9x<0
Do đó DPCM:-h

[Problem_G]

Xin cho hỏi đây là đề HSG tỉnh hay là đề chọn HSG đi dự Quốc Gia?

[kaka_math]

Xin cho hỏi đây là đề HSG tỉnh hay là đề chọn HSG đi dự Quốc Gia?
Đây là đề HSG tỉnh (vòng 1), vòng 2 chọn HSG đi dự QG khoảng mấy tuần nữa mới thi.

[kiengnho]

Câu 4:bt tương đương m^2+v^2=n^2+u^2 gs là số nguyên tố suy ra nó có 2 cách biểu diễn thành bf khác nhau->vô lý(bt quen thuộc trên MS)
Đề này chắc Anh Khoa ra sơm rồiB-)

Nếu vậy phải cm:nếu p là số nguyên tố và p = x^2+y^2 thì p có dạng 4k+1.

[nbkschool]

Bài số thì phân tích ra (m-n)(m+n)=(u-v)(u+v) rồi đặt m-n=ab,m+n=cd,u-v=ac,u+v=bd (định lý về phân tích) rồi sau đó biểu diễn cái m^2+v^2 theo a,b,c,d rồi xét trường hợp lặt vặt theo mod 4 là ra.
Bài lượng cũng có nghĩ tới cái xét hàm số nhưng chưa hiện thực hóa kịp thì hết giờ rồi.:tire: