PDA

View Full Version : Đề Thi chọn đội tuyển tỉnh Bến Tre năm 2010- Vòng 2


nhox12764
27-10-2010, 10:13 PM
Thời gian: 180 phút
(5 bài mỗi bài 5 điểm)
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;2), B(1;5) và C(5;2). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(7;0) chia đôi diện tích tam giác ABC.
Bài 2. Chứng minh rằng có ít nhất hai hình vuông có các đỉnh nằm trên đồ thị hàm số y=\frac{5}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2-\frac{13}{6}x+2.
Bài 3. Cho dãy số {u_n}^{+\infty }_{n=0} với u_0=3; u_1=17; u_{n+2}=6u_{n+1}-u_n với mọi n tự nhiên. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có \frac{u^2_n-1}{2} là một số chính phương.
Bài 4. Cho đa thức f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n có bậc n\geq 2 và có các nghiệm thực x_1,x_2,...,x_n.
Chứng minh rằng nếu u là số thực lớn hơn các số x_1,x_2,...,x_n, ta có bất đẳng thức:
f(u+1)(\frac{1}{u-x_1}+\frac{1}{u-x_2}+...+\frac{1}{u-x_n})\geq 2n^2.
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số xác định trên \mathbb{R}, liên tục tại điểm x=0 và thỏa mãn hệ thức: 5f(5x)=f(x)+5x.

novae
27-10-2010, 10:34 PM
Bài 3. Cho dãy số {u_n}^{+\infty }_{n=0} với u_0=3; u_1=17; u_{n+2}=6u_{n+1}-u_n với mọi n tự nhiên. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có \frac{u^2_n-1}{2} là một số chính phương.

u_{n+2}=6u_{n+1}-u_n
\Rightarrow u_{n+2}-3u_{n+1}=3u_{n+1}-u_n
\Rightarrow u_{n+2}-6u_{n+2}u_{n+1}+9u_{n+1}^2= u_n^2-6u_n u_{n+1}+9u_{n+1}^2
\Rightarrow u_{n+2}^2+u_{n+1}^2-6u_{n+2}u_{n+1}= u_{n+1}^2+u_n^2-6u_{n+1} u_n = \ldots = u_1^2 +u_0^2 -6u_0 u_1=-8
\Rightarrow u_n^2-1=\frac{\left(3u_n-u_{n-1}\right)^2}{8}
vì u_n nguyên \forall n\in\mathbb{N} \Rightarrow \left(3u_n-u_{n-1}\right)^2 \vdots 8 =2^3 \Rightarrow 3u_n-u_ {n-1} \vdots 4 \Rightarrow \frac{3u_n-u_{n-1}}{4}\in \mathbb{Z} \,\, \forall n\in\mathbb{N}
\Rightarrow \frac{u_n^2-1}{2}=\frac{\left(3u_n-u_{n-1}\right)^2}{16} là số chính phương \forall n\in\mathbb{N} (đpcm)

thangk50
27-10-2010, 10:43 PM
Bài 1,2 là các bài tập cơ bản. bài 3 khá quen thuộc có trong nhiều tài liệu.
Bài 4. Giả sử f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_n). Theo bđt AM-GM ta có:
u-x_1+1=u-x_1+\frac{1}{n-1}+\ldots+\frac{1}{n-1} \ge n.\sqrt[n]{(u-x_1)\left(\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}}. Từ đó ta có f(u+1).\left(\frac{1}{u-x_1}+\ldots+\frac{1}{u-x_n}\right)\ge \frac{n^{n+1}}{(n-1)^{n-1}}\ge 2n^2 (dễ thấy). Bài 5 là dạng toán khá quen thuộc dùng sai phân

huynhcongbang
28-10-2010, 10:20 AM
Thời gian: 180 phút
(5 bài mỗi bài 5 điểm)
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;2), B(1;5) và C(5;2). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(7;0) chia đôi diện tích tam giác ABC.
Bài 2. Chứng minh rằng có ít nhất hai hình vuông có các đỉnh nằm trên đồ thị hàm số y=\frac{5}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2-\frac{13}{6}x+2.
Bài 3. Cho dãy số {u_n}^{+\infty }_{n=0} với u_0=3; u_1=17; u_{n+2}=6u_{n+1}-u_n với mọi n tự nhiên. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có \frac{u^2_n-1}{2} là một số chính phương.
Bài 4. Cho đa thức f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n có bậc n\geq 2 và có các nghiệm thực x_1,x_2,...,x_n.
Chứng minh rằng nếu u là số thực lớn hơn các số x_1,x_2,...,x_n, ta có bất đẳng thức:
f(u+1)(\frac{1}{u-x_1}+\frac{1}{u-x_2}+...+\frac{1}{u-x_n})\geq 2n^2.
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số xác định trên \mathbb{R}, liên tục tại điểm x=0 và thỏa mãn hệ thức: 5f(5x)=f(x)+5x.

Trong đề này hình như câu khó nhất là câu 4, chỉ 1, 2 người làm được. Câu 2 cũng là 1 bài hàm số khó, tuy thấy vậy nhưng không phải dễ nhận ra hướng được đâu. Câu 3 đã từng là đề trên THTT năm 2009.
Hic! Đề lần này lại giống cấu trúc đề vòng tỉnh, không có tổ hợp, số học, hình phẳng. +_+

nhox12764
28-10-2010, 06:36 PM
Câu 2 làm ntn vậy anh? X_X

nbkschool
28-10-2010, 07:41 PM
Thời gian: 180 phút
(5 bài mỗi bài 5 điểm)

Bài 3. Cho dãy số {u_n}^{+\infty }_{n=0} với u_0=3; u_1=17; u_{n+2}=6u_{n+1}-u_n với mọi n tự nhiên. Chứng minh rằng với mxọi số tự nhiên n, ta có \frac{u^2_n-1}{2} là một số chính phương.

Hướng sáng tác bài này có lẽ là đi từ phương trình Pell x^2-2y^2=1.u_n chính là x_{n} của phương trình.Đây cũng là một hướng giải quyết bài toán này (đặt \frac{u^2_n-1}{2}=y_n^2 thì u_n,y_n thỏa mãn phương trình Pell trên).

huynhcongbang
29-10-2010, 02:40 AM
Thời gian: 180 phút
(5 bài mỗi bài 5 điểm)
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;2), B(1;5) và C(5;2). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(7;0) chia đôi diện tích tam giác ABC.
Bài 2. Chứng minh rằng có ít nhất hai hình vuông có các đỉnh nằm trên đồ thị hàm số y=\frac{5}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2-\frac{13}{6}x+2.

Hai bài hình giải tích này tuy không phức tạp nhưng ý tưởng khá mới lạ, quả thật trước giờ mình chưa gặp lần nào.
Bài 1 au khi vẽ vị trí các điểm ra rõ ràng có thể giải bằng cách gọi y=ax-7a là đường thẳng cần tìm. Nhận thấy tam giác ABC vuông tại A và BM cắt AC tại 1 điểm nằm giữa AC nên đường thẳng cần tìm phải cắt hai cạnh AB, AC của ABC. Tìm tọa độ giao điểm rồi tính tỉ số ra là xong.

Bài 2. Bài này thì khó hơn chút.
Chú ý tính đối xứng của đồ thị hàm bậc ba. Nếu tồn tại 1 hình vuông có các đỉnh nằm trên đồ thị thì tâm của nó phải trùng với tâm đối xứng của hàm số.
Trước hết, để tính toán đơn giản, tìm được tọa độ điểm uốn là
I(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}).
Ta chuyển trục tọa độ về điểm uốn, ta có:
Y=\frac{5}{3}X^3-\frac{41}{12}X
Ta cần chứng minh rằng ở nhánh dương của đồ thị này, có ít nhất hai cặp điểm A, B thỏa mãn: OA=OB, OA \perp OB.
Đặt A(x_1, y_1), B(x_2, y_2).
Ta có:
OA=OB\Leftrightarrow x_1^2+(\frac{5}{3}x_1^3-\frac{41}{12}x_1)^2=x_2^2+(\frac{5}{3}x_2^3-\frac{41}{12}x_2)^2\\\Leftrightarrow x_1^2+x_1^2(\frac{5}{3}x_1^2-\frac{41}{12})^2=x_2^2+x_2^2(\frac{5}{3}x_2^2-\frac{41}{12})^2
OA \perp OB\Leftrightarrow x_1.x_2+y_1.y_2=0\Leftrightarrow (\frac{5}{3}x_1^2-\frac{41}{12})(\frac{5}{3}x_2^2-\frac{41}{12})=-1.

Đến đây đặt thêm S, P để chứng minh hệ trên có ít nhất 2 nghiệm là xong. Không biết có cách nào tính toán đơn giản hơn không nữa. :hungry:

namdung
29-10-2010, 08:47 AM
Hướng sáng tác bài này có lẽ là đi từ phương trình Pell x^2-2y^2=1.u_n chính là x_{n} của phương trình.Đây cũng là một hướng giải quyết bài toán này (đặt \frac{u^2_n-1}{2}=y_n^2 thì u_n,y_n thỏa mãn phương trình Pell trên).

Suy nghĩ đơn giản đi Khoa: giải phương trình sai phân bằng cách chuẩn, ta được u_n = \frac{1}{2}(a^{n+1} + b^{n+1}) với a, b là 2 nghiệm của phương trình đặc trưng x^2 - 6x + 1 = 0. Từ đó \frac{u_n^2 - 1}{2} = (\frac{a^{n+1} -b^{n+1}}{2\sqrt{2}})^2 = v_n^2. Cuối cùng, ta có v_0 = 2, v_1 = 12, v_n+1 = 6v_n - v_{n-1} nên v_n nguyên.

vuanhungdc3
22-11-2010, 10:33 AM
Bài 2. Tôi đồng ý là đổi trục tọa độ IXY .nhưng sau đó cần quy bài toán về như sau:
- Tìm điều kiện để các đường thẳng Y=k.X (d1) và đường thẳng Y=-1/k. X (d2) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt .Ro ràng ta được k>12/41 hoặc -41/12<k<0
- giao điểm có hoành độ dương của (d1) và (C) là A. giao điểm có hoành độ dương của d2 và (C) là B. Từ OA=OB ta đc một pt của k. Sau đó chứng minh pt có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện là được.