bđt số học

[shpiro]

cho 1<n.cm
\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n}{3^n}<\frac{3}{4}

[dduclam]

cho 1<n.cm
\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n}{3^n}<\frac{3}{4}

Đặt S_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n}{3^n} (1)

Ta có 3S_n=1+\frac{2}{3}+\frac3{3^2}+...+\frac{n}{3^{n-1}} (2)

Trừ (2) cho (1) theo vế đc:

2S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n} <1+ P_n (*)

Ở đây P_n= \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}(3)

Nếu chưa học CSN thì tiếp tục

\frac1{3}P_n= \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}} (4)
Lại trừ (3) cho (4) => \frac2{3}P_n= \frac{1}{3}-\frac{1}{3^n} <\frac1{3}
=>P_n<\frac1{2}
Kết hợp (*) có ngay dpcm :secretsmile:

[shpiro]

Đặt S_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n}{3^n} (1)

Ta có 3S_n=1+\frac{2}{3}+\frac3{3^2}+...+\frac{n}{3^{n-1}} (2)

Trừ (2) cho (1) theo vế đc:

2S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n} <1+ P_n (*)

Ở đây P_n= \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}(3)

Nếu chưa học CSN thì tiếp tục

\frac1{3}P_n= \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}} (4)
Lại trừ (3) cho (4) => \frac2{3}P_n= \frac{1}{3}-\frac{1}{3^n} <\frac1{3}
=>P_n<\frac1{2}
Kết hợp (*) có ngay dpcm :secretsmile:

còn có cách cm bằng quy nạp nữa, cũng khá hay

[psquang_pbc]

Bạn cần nêu biểu thức đề quy nạp lên đi cái này mà xơi trực tiếp quy nạp thì gẫy răng :D ( do vế phải là hằng số , vế trái tăng )

[shpiro]

Bạn cần nêu biểu thức đề quy nạp lên đi cái này mà xơi trực tiếp quy nạp thì gẫy răng :D ( do vế phải là hằng số , vế trái tăng )

ta thấy bđt đúng với n=2
giả sử đúng với n=k, nghĩa là \frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n}{3^n} <\frac{3}{4}
tương đương với P=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+...+\frac{n}{3^(n+1) }<\frac{1}{4}
ta sẽ cm với n=k+1 thì bđt cũng đúng
\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n+1}{3^(n+1)}
=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^(n+1)}+P
=S+P
dễ thấy \frac{S}{3}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{ 1}{3^(n+2)}
nên \frac{2S}{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^(n+2)}
hay S=\frac{3}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{3^(n+2)})<(\frac{3}{2} )(\frac{1}{3})=\frac{1}{2}
vậy S+P<\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}