PDA

View Full Version : Vòng 3-Ngày 2:Kì thi chọn đội tuyển Toán KHTN năm 2010


n.v.thanh
01-12-2010, 02:31 PM
Môn Toán Vòng 3

Ngày thứ 2:23/11/2010
Câu I

Cho dãy số a_{n} thỏa mãn

0<a_{n+1}-a_{n}\leq2010

Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên dương (p,q) thỏa mãn p<q
thì a_{p}|a_{q}
Câu II

Tìm x,y,z thỏa mãn hệ:

2z(x+y)+1=x^{2}-y^{2}

y^{2}+z^{2}=1+2xy+2xz-2yz

y(3x^{2}-1)=-2x(x^{2}+1)

Câu III

Hai đường tròn (O_{1}) và (O_{2}) cắt nhau tại A,B và I là trung điểm O_{1}O_{2}. Gọi C là đối xứng của B qua I. Một đường tròn (O) đi qua A,Ccắt 2 đường tròn đã cho tại M,N

CMR: CM=CN
Câu IV

Gọi \mathbb{N} là tập hợp các số tự nhiên.Tìm tất cả các hàm số
f:\mathbb{N.N}\rightarrow\mathbb{N} thỏa mãn:

i)f(a,b)=f(b,a)

ii)f(b,f(a,b))=a

iii) Nếu f(a,b)>c thì f(b,c)<a

n.v.thanh
01-12-2010, 05:19 PM
Bài 1 là VN TST 2001 bài 6.
Bài hệ rất khó chịu,hình như không ai làm được.
Năm nay có bài hàm lạ.Vòng này là vòng duy nhất không có tổ hợp,tuy thế bài 1 và 4 đủ biết tính rời rạc rồi:-??

nbkschool
01-12-2010, 06:07 PM
Em xem có nhầm đề câu hàm không?
Thế c=a vào điều kiện 3 thì nếu f(a,b)>a suy ra f(a,b)<a,vô lý.
Tương tự với b,vậy f(a,b) \leq min \{a, b \} \forall (a,b) \in NxN
Từ cái nhận xét này thế lên cái điều kiện trên thì a= f(b,f(a,b)) \leq b.Như vậy nếu a>b thì ????
Còn đề câu hpt nữa.Pt thứ nhất có tới 2 dấu bằng à ?

lion
01-12-2010, 06:41 PM
Em xem có nhầm đề câu hàm không?
Thế c=a vào điều kiện 3 thì nếu f(a,b)>a suy ra f(a,b)<a,vô lý.
Tương tự với b,vậy f(a,b) \leq min \{a, b \} \forall (a,b) \in NxN
Từ cái nhận xét này thế lên cái điều kiện trên thì a= f(b,f(a,b)) \leq b.Như vậy nếu a>b thì ????
Còn đề câu hpt nữa.Pt thứ nhất có tới 2 dấu bằng à ?

Bài hàm ra vô nghiệm mà anh :)

Bài hệ dấu = thứ nhất chuyển thành +

nbkschool
01-12-2010, 10:00 PM
Bài hình học công nhận hơi tà đạo,làm cả buổi tối ngồi nghĩ vớ vẫn.
Thực chất bài toán qui về chứng minh bài toán sau,là một mở rộng của một bài hình Baltic Way: (còn vì sao quy về thì các bạn chỉ cần tinh ý đôi chút thôi :D)
Cho tam giác ABC.Từ A kẻ 2 đường thẳng liên hợp đẳng giác (đối xứng nhau qua phân giác) Ax và Ay.D là điểm trên Ax sao cho \angle{ADB}=\frac{\pi}{2}.E là điểm trên Ay sao cho \angle{AEC}=\frac{\pi}{2}.Khi đó nếu gọi H và M lần lượt là chân đường cao và trung điểm của BC thì D,E,H,M đồng viên.
Bài ở Baltic Way là trường hợp đặc biệt khi Ax,Ay trùng với đường phân giác.
Để giải quyết bài toán này ta sẽ phát biểu bổ đề sau (các bạn tự chứng minh nhé,kẻ các đường song song thôi)
Bổ đề: (E.R.I.Q mở rộng)
Cho hai tam giác đồng dạng thuận ABC và A'B'C'.Lấy A_1,B_1,C_1 lần lượt trên AA',BB',CC' sao cho \frac{\overline{AA_1}}{\overline{AA'}}= \frac{\overline{BB_1}}{\overline{BB'}} = \frac{\overline{CC_1}}{\overline{CC'}}=k.Khi đó tam giác A_1B_1C_1 cũng đồng dạng thuận với hai tam giác trên (theo đúng thứ tự các đỉnh).
Quay trở lại bài toán,lấy đối xứng với A qua BD là F,gọi N là trung điểm DE.Áp dụng bổ đề trên cho hai tam giác FBD và tam giác ACE và k=\frac{1}{2} suy ra \Delta DMN đồng dạng với \Delta ACE.Từ đó MN \perp DE hay \Delta DME cân.Dễ dàng rút ra kết luận của bài toán bằng biến đổi góc:\angle{MDE}=\angle{CAE}=\angle{MHE}
[Only registered and activated users can see links]

P.S:Bài như thế này chắc tác giả là anh Trần Quang Hùng nhỉ :D

tuan119
01-12-2010, 10:04 PM
Hình vẽ: Câu hình phẳng :d
[Only registered and activated users can see links]

chemthan
01-12-2010, 10:35 PM
Môn Toán Vòng 3

Ngày thứ 2:23/11/2010
Câu I

Cho dãy số a_{n} thỏa mãn

0<a_{n+1}-a_{n}\leq2010

Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên dương (p,q) thỏa mãn p<q
thì a_{p}|a_{q}
Câu II

Tìm x,y,z thỏa mãn hệ:

2z(x+y)=1=x^{2}-y^{2}

y^{2}+z^{2}=1+2xy+2xz-2yz

y(3x^{2}-1)=-2x(x^{2}+1)

Câu III

Hai đường tròn (O_{1}) và (O_{2}) cắt nhau tại A,B và I là trung điểm O_{1}O_{2}. Gọi C là đối xứng của B qua I. Một đường tròn (O) đi qua A,Ccắt 2 đường tròn đã cho tại M,N

CMR: CM=CN
Câu IV

Gọi \mathbb{N} là tập hợp các số tự nhiên.Tìm tất cả các hàm số
f:\mathbb{N.N}\rightarrow\mathbb{N} thỏa mãn:

i)f(a,b)=f(b,a)

ii)f(b,f(a,b))=a

iii) Nếu f(a,b)>c thì f(b,c)<a

Trong 2011 số nguyên dương liên tiếp lớn hơn a_1 sẽ có ít nhất 1 số hạng của dãy. Xây dựng ma trận:
m(1,1)=a; m(1,2)=a+1;...;m(1,2011)=a+2010
m(2,1)=\prod_{i=1}^{2011}{m(1,i)+m(1,1)}; m(2,2)=\prod_{i=1}^{2011}{m(1,i)}+m(1,2);...;m(2,2 011)=\prod_{i=1}^{2011}{m(1,i)}+m(1,2011)
....
....
m(2012,1)=\prod_{i=1}^{2011}{m(2011,i)+m(2011,1)}; m(2012,2)=\prod_{i=1}^{2011}{m(2011,i)}+m(2011,2); ...;m(2012,2011)=\prod_{i=1}^{2011}{m(2011,i)}+m(2 011,2011)
Ta thu được 1 ma trận 2012*2011 mà mỗi hàng là 2011 số tự nhiên liên tiếp, 2 số cùng 1 cột là ước của nhau.
Trong mỗi hàng có ít nhất 1 số thuộc dãy số. Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 2 số của dãy trong cùng 1 cột.

n.v.thanh
02-12-2010, 04:47 PM
Em xem có nhầm đề câu hàm không?
Thế c=a vào điều kiện 3 thì nếu f(a,b)>a suy ra f(a,b)<a,vô lý.
Tương tự với b,vậy f(a,b) \leq min \{a, b \} \forall (a,b) \in NxN
Từ cái nhận xét này thế lên cái điều kiện trên thì a= f(b,f(a,b)) \leq b.Như vậy nếu a>b thì ????
Còn đề câu hpt nữa.Pt thứ nhất có tới 2 dấu bằng à ?
Hình như ai cũng làm như anh..Em cũng chả hiểu nữa:-s
Hôm đó em không làm bài nào cả
Đã edit rồi đó.

lion
02-12-2010, 05:28 PM
Trong 2011 số nguyên dương liên tiếp lớn hơn a_1 sẽ có ít nhất 1 số hạng của dãy. Xây dựng ma trận:
m(1,1)=a; m(1,2)=a+1;...;m(1,2011)=a+2010
m(2,1)=\prod_{i=1}^{2011}{m(1,i)+m(1,1)}; m(2,2)=\prod_{i=1}^{2011}{m(1,i)}+m(1,2);...;m(2,2 011)=\prod_{i=1}^{2011}{m(1,i)}+m(1,2011)
....
....
m(2012,1)=\prod_{i=1}^{2011}{m(2011,i)+m(2011,1)}; m(2012,2)=\prod_{i=1}^{2011}{m(2011,i)}+m(2011,2); ...;m(2012,2011)=\prod_{i=1}^{2011}{m(2011,i)}+m(2 011,2011)
Ta thu được 1 ma trận 2012*2011 mà mỗi hàng là 2011 số tự nhiên liên tiếp, 2 số cùng 1 cột là ước của nhau.
Trong mỗi hàng có ít nhất 1 số thuộc dãy số. Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 2 số của dãy trong cùng 1 cột.

Cuối cùng phải là " vô số số của dãy trong cùng một cột suy ra đpcm"

Nguyen Van Linh
02-12-2010, 07:12 PM
Bài hình là bài toán 4 TTT2 T5/2010.
Gọi N' là điểm trên (O_2) sao cho \widehat{MAB}=\widehat{N'AB}. Dễ dàng chứng minh được \Delta CO_1M=\Delta N'O_2C (c.g.c) và suy ra MACN' nội tiếp -> N'\equiv N và CM=CN.

Evarist Galois
03-12-2010, 05:42 PM
Môn Toán Vòng 3

Ngày thứ 2:23/11/2010
Câu I

Cho dãy số a_{n} thỏa mãn

0<a_{n+1}-a_{n}\leq2010

Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên dương (p,q) thỏa mãn p<q
thì a_{p}|a_{q}
Câu II

Tìm x,y,z thỏa mãn hệ:

2z(x+y)+1=x^{2}-y^{2}

y^{2}+z^{2}=1+2xy+2xz-2yz

y(3x^{2}-1)=-2x(x^{2}+1)

Câu III

Hai đường tròn (O_{1}) và (O_{2}) cắt nhau tại A,B và I là trung điểm O_{1}O_{2}. Gọi C là đối xứng của B qua I. Một đường tròn (O) đi qua A,Ccắt 2 đường tròn đã cho tại M,N

CMR: CM=CN
Câu IV

Gọi \mathbb{N} là tập hợp các số tự nhiên.Tìm tất cả các hàm số
f:\mathbb{N.N}\rightarrow\mathbb{N} thỏa mãn:

i)f(a,b)=f(b,a)

ii)f(b,f(a,b))=a

iii) Nếu f(a,b)>c thì f(b,c)<a

Bài 3(cách khác): Phép đối xứng trục OI biến C thành B,biến O1 thành O2 nên (O1;O1C) thành (O2). Như thế gọi giao (O1;O1C) và (O) là K thì biến N thành K. Vậy CN=BK.
Lại có OO1 là đồng thời là trung trực của BM và CK nên CKMB là hình thang cân nên CM=BK. Suy ra đpcm

Bài 1 trong around the world thì phải Lâu ko đọc nên ko nhớ nữa

hiephoa1102
03-09-2012, 05:58 PM
Mọi ng cho ý kiến câu hệ đi!:-??

novae
03-09-2012, 07:05 PM
Mọi ng cho ý kiến câu hệ đi!:-??

Bài 55 ở đây : [Only registered and activated users can see links]