PDA

View Full Version : Đề ôn olympic 30/4 lớp 11


rockfromyou
27-01-2011, 05:24 PM
Câu 1: giải phương trình
8^{x}+4^{x}+2^{x}=x^{3}+4x^{2}+6x+3
Câu 2:
Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu D(n) là tập các ước số của n và \varphi (n) là số các số nguyên dương không quá n và nguyên tố cùng nhau với n. Chứng minh rằng \sum_{d\in D(n)}\varphi (d)=n
Câu 3: cho a,b,c>0 chứng minh rằng
\sum (\frac{a}{a+b})^{2}+\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\g eq 1
Câu 4:
cho dãy (x_{n}) biết
x_{1}=1
x_{n+1}^{2}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}
Tìm \alpha sao cho dãy (y_{n}) với
y_{n}=n^{\alpha }x_{n} có giới hạn hữu hạn khác 0 khi n \to +\infty
Câu 5:
tìm f:R^{+}\rightarrow R^{+} thỏa mãn
\frac{f(a)+f(b)}{f(c)+f(d)}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{ 2}+d^{2}} với \forall a,b,c,d\in R^{+} và ab=cd

tuan119
27-01-2011, 05:44 PM
Câu 1: giải phương trình
8^{x}+4^{x}+2^{x}=x^{3}+4x^{2}+6x+3

Làm câu phương trình mũ :D
+ Điều kiện: x>-1
+ PT có dạng: (2^{x})^{3}+(2^{x})^{2}+2^{x}=(x+1)^{3}+(x+1)^{2}+ (x+1);
+ Xét hàm f(t)=t^{3}+t^{2}+t ; \forall t>0

thangbom11
27-01-2011, 07:19 PM
Câu 2:
Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu D(n) là tập các ước số của n và \varphi (n) là số các số nguyên dương không quá n và nguyên tố cùng nhau với n. Chứng minh rằng \sum_{d\in D(n)}\varphi (d)=n


Ta có phân tích: n=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_k^{a_k}.
Khi đó, d là ước của n nên d=p_1^{b_1}.p_2^{b_2}...p_k^{b_k} (trong đó 0 \le b_i \le a_i).

Từ đó, ta có: \sum_{d\in D(n)}\varphi (d)=\sum_{0 \le b_i \le a_i}\varphi (p_1^{b_1}).\varphi (p_2^{b_2})...\varphi (p_k^{b_k})=\prod_{i=1}^{k}(\sum_{j=0}^{a_i}\varph i (p_i^j))=\prod_{i=1}^{k}(1+\varphi (p_i)+...+\varphi (p_i^{a_i}))=\prod_{i=1}^{k}(1+(p_i-1)+...(p_i^{a_i}-p_i^{a_i-1}))=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}=n

Vậy \sum_{d\in D(n)}\varphi (d)=n (đpcm)



Cách này tìm thấy trong cuốn Bài giảng Số học :), nên post ra đây luôn

n.v.thanh
27-01-2011, 08:02 PM
Câu 5 là đề IMO 2008
Bài dãy chắc khó nhất đề:|
[Only registered and activated users can see links]