Bất biến

[quockhanh]

Trên mặt phẳng cho 2004 điểm phân biệt.Chứng minh rằng có thể dựng các đoạn thẳng nối 2 điểm một với nhau sao cho 1002 đoạn thẳng được dựng đôi một không có điểm chung.

[dong1919]

Với mỗi điểm A_1 ta lấy điểm A_2 s/c 2002 điểm còn lại cùng nằm trên 1/2 mp bờ A_1A_2
nếu có các điểm thẳng hàng trên đoạn đó ta lấy diểm gần A_1 nhất
tiếp tục quá trình trên với 2002 điểm còn lại =>...

[quockhanh]

Nối 2 điểm một với nhau bởi các đoạn thẳng
-Nếu các đoạn thẳng vừa dựng đôi một không có điểm chung thì bài toán đã được chứng minh
-Nếu có hai đoạn thẳng ,chẳng hạn AB và CD cắt nhau tại O
Gọi f là tổng độ dài các đoạn thẳng được nối,Khi đó nếu ta thay 2 đoạn thẳng AB,CD bởi hai đoạn AC, BD đứt nét AC,BD thì do AB+CD>AC +BD nên tổng độ dài các đoạn thẳng được nối khi đó sẽ giảm (do các đoạn thẳng khác vẫn được giữ nguyên) mà tập giá trị f hữu hạn nénu một số hữu hạn lần thay đổi lại các đaọn thẳng như vậy f sẽ đạt giá trị nhỏ nhất

[tuan khoa]

Tư tưởng này là về đơn biến chứ không phải bất biến. Một ví dụ khác về đơn biến

1) Tại quốc hội ở một nước nọ, 1 nghị sĩ có không quá ba kẻ thù. CMR có thể chia quốc hội thành hai viện mà trong mỗi viện, mỗi nghị sĩ có không quá 1 kẻ thù

Problem 6, IMO 2007 cũng là một bài toán sử dụng bất biến, đơn biến kết hợp với sai phân đa thức ba biến tuyệt vời.

Chú ý là còn có thể sử dụng cực trị rời rạc

[tuan khoa]

Một vài bài khác nữa về cực trị rời rạc đây

1)Cho m và d là các số nguyên với m\ge d\ge 2 .Gỉa sử x_1,x_2,...,x_d là các biến nguyên dương sao cho x_1+x_2+\cdots+x_d=m.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x_1^2+x_2^2+\cdots+x_d^2.
2) Cho x_1,x_2,..,x_5 nguyên dương, x_1x_2...x_5=5!. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của x_1+x_2+\cdots+x_5

Bài 1 mình giải được rồi, bài 2 trong cuốn đại số sơ cấp của Dương Quốc Việt+ Đàm Văn Nhỉ, thầy Việt cũng không giải được ( tác giả cuốn sách), ai giải được mình xin bái phục

[let]

Thử bài 2 xem sao: Max là124 khi 120,1,1,1,1 vì a+b\leq 1+ab\forall a,b\geq 1 nên x_1+x_2+...+x_5\leq 1+x_1x_2+x_3+...+x_5\leq 2+x_1x_2x_3+x_4+x_5\leq 3+x_1x_2x_3x_4+x_5\leq 4+x_1x_2x_3x_4x_5=124
Min là14 khi 5,3,2,2,2 vì x_1+x_2+...+x_5\geq 5\sqrt[5]{x_1x_2...x_5}>13

[tuan khoa]

Quên, bài 2 phải thế này cơ

x_1,x_2,...,x_n nguyên dương, x_1x_2..x_n=n!. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của x_1^5+x_2^5+\cdots+x_n^5

Tóm lại là không mò được kết quả như let làm ở trên, thấy bảo có thể chỉ ra thuật toán để giải bài đó. Các bạn thử xem, mình thì chưa làm được

[manhpro]

Bài quốc hội làm như sau: Chia Quốc hội thành 2 viện bất kì.Ta xét như sau : nếu có 1 người bất kì thuộc 1 viện mà có số đối thủ trong viện đó lớn hơn hoặc bằng 2 thì chuyển sang viện còn lại. Để ý rằng đề bài cho một người có ko quá 3 đối thủ nên số đối thủ trong viện viện mới của người bị chuyển sẽ là nhỏ hơn hoặc bằng 1. Xét S(n) là tổng số đôi đối thủ trong từng viện sau n lần chuyển như vậy. Ta có S(n+1)<S(n). Nên sau hữu hạn bước ta sẽ nhận được 2 viện thỏa mãn. Bài này có trong tài liêu bồi dưỡng hs giỏi của thầy Mậu và quyển 'giải toán bằng đại lượng bất biến'.

[bokinhvan3]

Tư tưởng này là về đơn biến chứ không phải bất biến. Một ví dụ khác về đơn biến

1) Tại quốc hội ở một nước nọ, 1 nghị sĩ có không quá ba kẻ thù. CMR có thể chia quốc hội thành hai viện mà trong mỗi viện, mỗi nghị sĩ có không quá 1 kẻ thù

Problem 6, IMO 2007 cũng là một bài toán sử dụng bất biến, đơn biến kết hợp với sai phân đa thức ba biến tuyệt vời.

Chú ý là còn có thể sử dụng cực trị rời rạc


Nếu ko nhầm thì bài này là ví dụ khi học tới phần đơn biến, chắc bác này học ở sư phạm=p~

[namdung]

Trên mặt phẳng cho 2004 điểm phân biệt.Chứng minh rằng có thể dựng các đoạn thẳng nối 2 điểm một với nhau sao cho 1002 đoạn thẳng được dựng đôi một không có điểm chung.

Bài này dùng nguyên lý cực hạn chứ không phải dùng bất biến.

Vì số cách nối 2004 điểm bằng 1002 đoạn thẳng là hữu hạn nên tồn tại cách nối có tổng các đoạn thẳng nối là nhỏ nhất. Khi đó, đây chính là cách nối cần tìm (hãy giải thích tại sao?).

[shido_soichua]

Giả sử trong 1002 đoạn thăng hình thành co ít nhất 2 đoạn thăng cắt nhau ( vẽ hình ) ta chuyển hai đoạn thẳng này về trạng thái không cắt nhau, bằng bất đẳng thức tam giác ta dễ dàng chứng minh được ở trạng thai nay tong độ dài hai đoan thẳng mới bé hơn tổng độ dài hai đoạn thăng cũ
Do vậy sau mỗi lần chuyển đổi tổng độ dài các đoạn thẳng phải nhỏ đi mà tổng độ dài các đoạn này không thể nhỏ đi mãi đến một lúc nào đấy sẽ đạt min lúc này không còn 2 đoạn thẳng nào cắt nhau nữa

[lvt_ct_lhp]

Một bài khác cũng sử dụng nguyên lí cực hạn
Trên mặt phẳng cho trước một số đường thẳng không cùng đồng quy tại một điểm và không có hai đường thẳng nào song song với nhau. CM tồn tại một giao điểm mà qua đó có đúng 2 đường thẳng trong số những đường thẳng đã cho.

[king_math96]

Một vài bài khác nữa về cực trị rời rạc đây

1)Cho m và d là các số nguyên với m\ge d\ge 2 .Gỉa sử x_1,x_2,...,x_d là các biến nguyên dương sao cho x_1+x_2+\cdots+x_d=m.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x_1^2+x_2^2+\cdots+x_d^2.
ai giải dùm em bài một đi, em mới học phần tổ hợp.:-<:-<:-<
------------------------------
nhân tiện hỏi các anh bài này:
1/Cho hình chữ nhật bất kì được chia thành các hình vuông nhỏ bằng các đường thẳng song song với các cạnh của nó. Ta tô màu các tâm của hình vuông bằng màu xanh hoặc đỏ, các tâm của hai ô cạnh nhau mà cùng màu được nối với nhau bởi một đoạn thẳng được tô màu đó. Biết rằng ở mỗi hàng, mỗi cột thì số điểm xanh bằng số điểm đỏ. Hỏi số đoạn thẳng xanh có bằng số đoạn thẳng đỏ được không?

[meomeomeo]

Chắc đề bài phải có thêm gì chứ, ví dụ như đây là hình chữ nhật có đỉnh thuộc mạng lưới ô vuông chẳng hạn, nếu không thì tớ chọn hình chữ nhật có cạnh 1 và căn 2 thì làm sao mà chia được+_+