Đề thi chọn HSG lớp 10 Vĩnh Phúc 2011

[Quydo]

Câu I)
1.Cho hệ pt
\begin{cases}
&x+y=m-2\\
&x^2+y^2+2x+2y=-m^2+4
\end{cases}
a)Tìm m để hệ pt trên có nghiệm
b)Tìm min max của A=xy+2(x+y)+2011
2.Tìm tất cả các giá trị của m để pt sau có 4 nghiệm phân biệt đều lớn hơn -3: x^4-(3m+1)x^2+6m-2=0
Câu II)
Giải hệ pt
\begin{cases}
&x+y-\sqrt{xy}=1\\
&\sqrt{x^2+3}+\sqrt{y^2+3}=4
\end{cases}
Câu III)
Chứng minh BĐT với x,y dương: \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geq \frac{1}{1+xy}
Câu IV)
1.Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2) và B(4;3). Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho góc AMB=45^0
2.Trong mp tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H.AH,BH,CH lần lượt cắt đường tròn tại điểm thứ 2 theo thứ tự là D,E,F. Hãy viết pt cạnh AC của tam giác ABC biết rằng D(2;1);E(3;4);F(\frac{6}{5};\frac{17}{5}).
3.Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, chứng minh rằng:
\frac{IA^2}{c(p-a)}+\frac{IB^2}{a(p-b)}+\frac{IC^2}{b(p-c)}=2

[hizact]

Câu III)
Chứng minh BĐT với x,y dương: \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geq \frac{1}{1+xy}


BĐT vẫn đúng với mọi x, y cùng dấu

Ta có VT = \frac{{xy{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {xy - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {y + 1} \right)}^2}\left( {1 + xy} \right)}} \geqslant 0 (đpcm)

[novae]

Câu IV)

3.Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
\frac{IA^2}{c(p-a)}+\frac{IB^2}{a(p-b)}+\frac{IC^2}{b(p-c)}=2

Cách 1:
Ta có IA=\frac{2bc \cos\frac{A}{2}}{a+b+c} \Rightarrow IA^2=\frac{4b^2c^2 \cos^2\frac{A}{2}}{4p^2}= \frac{b^2c^2 \cdot \frac{p(p-a)}{bc}}{p^2}=\frac{bc(p-a)}{p}
Suy ra \frac{IA^2}{c(p-a)}=\frac{b}{p}.
Cộng theo vế hai đẳng thức tương tự, ta có đpcm.

Cách 2:
Gọi P là tiếp điểm của (I) với AB.
Ta có \cos\frac{A}{2}=\frac{AP}{IA}\Rightarrow \frac{IA}{p-a}=\frac{IA}{AP}=\frac{1}{\cos\frac{A}{2}}.
Áp dụng định lý \sin, ta có \frac{IA}{c}=\frac{\sin\frac{B}{2}}{\sin\left( \frac{C}{2}+\frac{\pi}{2} \right)} = \frac{\sin\frac{B}{2}}{\cos\frac{C}{2}}.
Suy ra \frac{IA^2}{c(p-a)}=\frac{\sin\frac{B}{2}}{\cos\frac{A}{2} \cos\frac{C}{2}}=\frac{\sin B}{2\cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}}.
Cộng theo vế hai đẳng thức tương tự, kết hợp với đẳng thức \sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}, ta có đpcm.

[barcapro]

3.Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
\frac{IA^2}{c(p-a)}+\frac{IB^2}{a(p-b)}+\frac{IC^2}{b(p-c)}=2
I là điểm nào vậy

[phantiendat_hv]

Câu II)
Giải hệ pt
\begin{cases}
&x+y-\sqrt{xy}=1 (1)\\
&\sqrt{x^2+3}+\sqrt{y^2+3}=4(2)
\end{cases}


Từ (1) \Rightarrow xy\le1 và x;y\ge0

Đặt a=x+y ; b=\sqrt{xy}

\Rightarrow
\begin{cases}
x+y-\sqrt{xy}=1 \\
x^2+y^2+6+2\sqrt{3(x^2+y^2)+x^2y^2+9}=16
\end{cases}

\Leftrightarrow
\begin{cases}
x+y-\sqrt{xy}=1 \\
(x+y)^2-2xy+2\sqrt{3(x+y)^2-6xy+x^2y^2+9}=10
\end{cases}

\Rightarrow
\begin{cases}
a-b=1 \\
a^2-2b^2+2\sqrt{3a^2-6a^2+b^4+9}=10
\end{cases}

\Leftrightarrow
\begin{cases}
a=1+b \\
2\sqrt{b^4-3b^2+6b+12}=b^2-2b+9
\end{cases}

\Leftrightarrow
\begin{cases}
&a=1+b \\
&3b^4+4b^3-34b^2+60b-33=0
\end{cases}

\Rightarrow b=1 và 3b^3+7b^2-27b+33> 0 với b=\sqrt{xy};xy\le1

Với xy=1 \Rightarrow x+y=2

Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1)

[Quydo]

Câu II)
Giải hệ pt
\begin{cases}
&x+y-\sqrt{xy}=1\\
&\sqrt{x^2+3}+\sqrt{y^2+3}=4
\end{cases}
từ pt(1) suy ra xy>0 và x+y=\sqrt{xy}+1>0 suy ra x,y>0
Lại có (x+y)^2=(\sqrt{xy}+1)^2
hay -xy+2\sqrt{xy}+7=(x^2+3)+(y^2+3)\geq \frac{(\sqrt{x^2+3}+\sqrt{y^2+3})^2}{2}=8 từ đó suy ra xy=1
Mặt khác \sqrt{xy}+1=x+y\geq 2\sqrt{xy} \Rightarrow xy\leq 1
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1 thử lại thấy thỏa mãn nên đó là nghiệm duy nhất của hệ.

[ttytty]

Câu I)
Câu III)
Chứng minh BĐT với x,y dương: \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geq \frac{1}{1+xy}

Dễ thấy : (1+xy)\left(1+\frac{x}{y}\right)\geq\((1+x)^2
\Rightarrow \frac{1}{(x+1)^2}\geq \frac{1}{(1+xy)\left(1+\frac{x}{y}\right)}
Tương tự rồi cộng vế theo vế suy ra đpcm !

[HBM]

Câu I)
2.Tìm tất cả các giá trị của m để pt sau có 4 nghiệm phân biệt đều lớn hơn -3: x^4-(3m+1)x^2+6m-2=0


Đặt t=x^2 (t\ge 0)

Pt trở thành: f(x)=t^2-(3m+1)t+6m-2=0

Giả sử t\ge 9 \Leftrightarrow x^2\ge 9 \Leftrightarrow x\ge 3 \vee x\le-3 \Rightarrow loại t\ge 9 vì không thỏa ycbt

ycbt \Leftrightarrow \begin{cases} \triangle >0 \\ af(3)>0 \\af(0) \ge 0\\ 0\le \frac{t_1+t_2}{2} <3 \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} 9(m-1)^2 >0\\ -3m+4 >0\\ 6m-2 \ge 0 \\ 0\le3m+1<6\end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} m\not= 1 \\ m< \frac{4}{3} \\ m \ge \frac{1}{3} \\ m\ge \frac{-1}{3} \\ m< \frac{5}{3}\end{cases}

\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le m < \frac{4}{3} và m\not= 1 :))