Cũng hay

[skater]

Cho n >= 2 là số nguyên dương cố định. S là họ các tập có n phần tử mà ko có hai tập nào giao nhau bằng rỗng. Chứng minh rằng tồn tại tập có n-1 phần tử mà giao với mọi tập thuộc S

[Quân -k47DHV]

Cho n >= 2 là số nguyên dương cố định. S là họ các tập có n phần tử mà ko có hai tập nào giao nhau bằng rỗng. Chứng minh rằng tồn tại tập có n-1 phần tử mà giao với mọi tập thuộc S

Với n=2 bài toán làm gì đúng!
n=3, bài toán đc chứng minh .G|s bài toán đúng tới n-1 ta cm với |S|=n bài toán được cm
Gọi tập A_1 bất kì có n phần tử a_i ,i=1,2,..,n.
xét B_m = ( A_i ,i \neq 1 và a_m \subset A_i \bigcap A_1 ) m=1,2...,n
thế thì : Nếu tồn tại i mà B_i \subset (\bigcup_{j\neq i, j=1}^{n}B_j) thì bt được cm
TH ngược lại thì tồn tại các tập A_2 ,A_3,...,A_n,A_{n+1} giao với A_1 tại n điểm phân biệt.
khi đó theo gt quy nạp tồn tại tập có n-2 phần tử có giao với A_2,..,A_n ,chọn n-2 điểm này với điểm giao của A_{n+1} với A_1 .Được n-1 điêm thỏa mãn .Đpcm

[Quân -k47DHV]

Với n=2 bài toán làm gì đúng!
n=3, bài toán đc chứng minh .G|s bài toán đúng tới n-1 ta cm với |S|=n bài toán được cm
Gọi tập A_1 bất kì có n phần tử a_i ,i=1,2,..,n.
xét B_m = ( A_i ,i \neq 1 và a_m \subset A_i \bigcap A_1 ) m=1,2...,n
thế thì : Nếu tồn tại i mà B_i \subset (\bigcup_{j\neq i, j=1}^{n}B_j) thì bt được cm
TH ngược lại thì tồn tại các tập A_2 ,A_3,...,A_n,A_{n+1} giao với A_1 tại n điểm phân biệt.
khi đó theo gt quy nạp tồn tại tập có n-2 phần tử có giao với A_2,..,A_n ,chọn n-2 điểm này với điểm giao của A_{n+1} với A_1 .Được n-1 điêm thỏa mãn .Đpcm

Lời giải sai

[Traum]

Phản chứng:
Giả sử mọi tập giao với tất cả các tập thuộc S đều có phần tử không bé hơn n.
Trước hết ta có tồn tại một phần tử x thuộc về vô số tập hợp.
Xét X là tập hợp có số phần tử lớn nhất mà X là con của vô số tập trong S, gọi là D(X). Do mỗi tập thuộc S có n phần tử nên X có không quá n-1 phần tử.

Khi đó theo giả thiết phản chứng thì X không giao với một tập Y nào đó thuộc S.

Nhưng theo giả thiết thì mỗi tập Z thuộc D(X) lại giao với Y, do đó tồn tại một phần tử z thuộc Y mà thuộc về vô số tập trong D(X). Khi đó tập X\cup \{x\} có số phần tử lớn hơn X mà cũng là con của vô số tập trong S. Mâu thuẫn.

Vậy kết luận của bài toán là đúng.

Chú ý điều kiện S là tập vô hạn là cần thiết, nếu S hữu hạn thì kết luận không còn đúng nữa.