Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên KHTN năm 2011 (Vòng 1)

[ladykillah96]

MÔN: TOÁN (Vòng 1)

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I.
Giải hệ phương trình:
\begin{cases}(x-1)y^2+x+y=3\\(y-2)x^2+y=x+1\end{cases}
Giải phương trình:
\sqrt{x + \frac{3}{x}}=\frac{x^2 + 7}{2(x + 1)}


Câu II.
Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên (x, y, z) thỏa mãn đẳng thức:
x^4 + y^4 = 7z^4 + 5
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức:
(x + 1)^4 - (x - 1)^4 = y^3


Câu III.
Cho hình bình hành ABCD với \widehat{BAD} < 90^\circ. Đường phân giác của góc \widehat{BCD} cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng (d) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.
Chứng minh rằng \Delta OBE = \Delta ODC.
Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
Gọi giao điểm của OC và BD là I. Chứng minh rằng IB.BE.EI = ID.DF.FI.


Câu IV. Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} + \sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}}

[novae]

Câu III.
Cho hình bình hành ABCD với \widehat{BAD} < 90^\circ. Đường phân giác của góc \widehat{BCD} cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng (d) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.
Chứng minh rằng \Delta OBE = \Delta ODC.
Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
Gọi giao điểm của OC và BD là I. Chứng minh rằng IB.BE.EI = ID.DF.FI.



[Only registered and activated users can see links]
1.
Ta có OB=OD, \widehat{OBE} = \widehat{ODC} nên chỉ cần chứng minh BE=CD.
Dễ thấy rằng tam giác CEF cân tại C nên \widehat{BEA} = \widehat{CFE} = \widehat{BAE}.
Suy ra tam giác BAE cân tại B nên BE=BA=CD.
Do đó \triangle OBE = \triangle ODC \; (\text{c.g.c})
2.
Từ câu 1, ta có OE=OC.
Mặt khác, ta có OE=OF (do O nằm trên trung trực của EF)
Vì vậy O là tâm ngoại tiếp tam giác CEF.
3.
Vì IE=IF nên ta chỉ cần chứng minh IB \cdot BE = ID \cdot DF.
Tương đương với IB \cdot CD = ID \cdot CB \Leftrightarrow \frac{IB}{ID} = \frac{CB}{CD} (đúng do CI là phân giác của \widehat{BCD})

[n.v.thanh]

Câu II
1.x^4+y^4=7z^4+5
a.Nếu z chẵn thì VP lẻ nên không mất tính tỏng quát x chẵn,y lẻ.

Vế trái chia 16 dư 1.Vế phải chia 16 dư 5.Vô nghiệm

b.Nếu z lẻ thì VP chẵn nên x,y cùng lẻ hoăc x,y cùng chẵn.

* x,y cùng lẻ thì VT chia 16 dư 2 và VP chia 16 dư 12.
** x,y cùng chẵn thì VT chia hết cho 16 và VP chia 16 dư 12 loại.

Vậy không tồn tại x,y,z thỏa mãn.
Bổ đề: Số trùng phương lẻ chia 16 dư 1.

Đề KHTN trông thật sáng giá!:X.Chắc các mợ bán lời giải lãi to:))

2.Giải phương trình nghiệm nguyên (x+1)^4-(x-1)^4=y^3

VT=(x^2+2x+1)^2-(x^2-2x+1)^2=(4x)(2x^2+2)=8(x^3+x)=y^3

Nên y=2k,thay vào có pt mới x^3+x=k^3

a.Nếu x=0 thì k=0.

b.Nếu x>0 thì x^3< k^3<(x+1)^3 nên vô nghiệm

c.Nếu x<0 thì x^3>k^3>(x-1)^3 ( bởi vì x^3+x >x^3-3x^2+3x-1 do 3x^2-3x+1>0 )
KL (x,y)=(0,0)
999 post:D

[nvm]

Câu IV. Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} + \sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}}
bài này là hệ quả của bđt
\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\ge 1
với bộ số (x,y,y)

[math213]

Gửi các thành viên bản PDF

[magic.]

Câu IV. Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} + \sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}}

P = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} + \sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}} \ge_{CS} \frac{(x+2y)^2}{\sqrt{x(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)}+2\sqrt{y(x+2y)(x^2+xy+y^2)}}

\Rightarrow P^2 \ge \frac{(x+2y)^3}{(\sqrt{x(x^2-2xy+4y^2)}+2\sqrt{y(x^2+xy+y^2)})^2}

Giờ xử lí cái mẫu tí là ra.

Nói thật Đề vòng I KHTN khó hơn nhiều đề vòng 2 vào Lương Văn Tụy- NB X_X

[math213]

Câu II.
[LIST=1] Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên (x, y, z) thỏa mãn đẳng thức:
x^4 + y^4 = 7z^4 + 5

Xét đồng dư số chính phương cho 8 ta có x^2\equiv 0,1,4 (mod\ 8) nên x^4\equiv 0,1 (mod\ 8)

Mặt khác x^4+y^4+z^4=8z^4+5\equiv 5(mod\ 8) điều này là không thể.

[soros_fighter]

P = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} + \sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}} \ge_{CS} \frac{(x+2y)^2}{\sqrt{x(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)}+2\sqrt{y(x+2y)(x^2+xy+y^2)}}

\Rightarrow P^2 \ge \frac{(x+2y)^3}{(\sqrt{x(x^2-2xy+4y^2)}+2\sqrt{y(x^2+xy+y^2)})^2}

Giờ xử lí cái mẫu tí là ra.

Nói thật Đề vòng I KHTN khó hơn nhiều đề vòng 2 vào Lương Văn Tụy- NB X_X

nếu làm thế này thì dấu bằng không xảy ra đâu

[-Minoan-]

nếu làm thế này thì dấu bằng không xảy ra đâu
Vẫn xảy ra mà.Khi x=y

[bboy114crew]

P = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} + \sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}} \ge_{CS} \frac{(x+2y)^2}{\sqrt{x(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)}+2\sqrt{y(x+2y)(x^2+xy+y^2)}}

\Rightarrow P^2 \ge \frac{(x+2y)^3}{(\sqrt{x(x^2-2xy+4y^2)}+2\sqrt{y(x^2+xy+y^2)})^2}

Giờ xử lí cái mẫu tí là ra.

Nói thật Đề vòng I KHTN khó hơn nhiều đề vòng 2 vào Lương Văn Tụy- NB X_X
Bỏ bài PTNN ra mới nghic ra!
đề này k khó lắm!
mới vào phòng thi choáng mãi mới làm được bài 1=P~
mình làm như sau:
ta có:
P = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}}\sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}}
=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{8y^3}{x^3}}}+\frac{2}{\sqr t{1+(1+\frac{x}{y })^3}}
dặt ]\frac{y}{x}=a \Rightarrow P=\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{2}{\sqrt{1+(1+\fra c{1}{a })^3}}
=\frac{1}{(2a+1)(4a^2-2a+1)}+\frac{1}{(2a+\frac{1}{a })(\frac{1}{a^2 }+\frac{1}{a }+1)} \geq \frac{1}{2a62+1}+\frac{2a^2}{2a^2+1} =1(AM-GM)
------------------------------
Bài 1:
1\
ta có:\begin{cases}(x-1)y^2+x+y=3\\(y-2)x^2+y=x+1\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}(x-1)y^2+x-1+y-2=0\\(y-2)x^2+y-2 -(x-10=0\end{cases}
rút y từ PT2 ta được;
y=2+\frac{x-1}{x^2+1}
thay vào PT1 ta được:
(x-1)[(y=2+\frac{x-1}{x^2+1})^2+\frac{1}{x^2+1}+1]=0
\Leftrightarrow x=1
suy ra y=2
2\ có hai cách :
c1:
bình phuowng rùi phân tích :
(x-1)^2(x-3)(x^2+x+4)=0
c2:
đặt:
\sqrt{x^2+3}=a;\sqrt{x}=b
ta có:
\frac{a}{b}=\frac{a^2+4}{2(b^2+1)} \Leftrightarrow (ab-2)(2b-a)=0
2.mình dùng tham số:
đặt;y=2x+d
ta có:
8x=12x^2d+6xd^2+d^3
tính delta rùi suy ra d=0

[Aotrang]

MÔN: TOÁN (Vòng 1)

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I.
Giải hệ phương trình:
\begin{cases}(x-1)y^2+x+y=3\\(y-2)x^2+y=x+1\end{cases}
Giải phương trình:
\sqrt{x + \frac{3}{x}}=\frac{x^2 + 7}{2(x + 1)}


Câu II.
Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên (x, y, z) thỏa mãn đẳng thức:
x^4 + y^4 = 7z^4 + 5
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức:
(x + 1)^4 - (x - 1)^4 = y^3


Câu III.
Cho hình bình hành ABCD với \widehat{BAD} < 90^\circ. Đường phân giác của góc \widehat{BCD} cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng (d) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.
Chứng minh rằng \Delta OBE = \Delta ODC.
Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
Gọi giao điểm của OC và BD là I. Chứng minh rằng IB.BE.EI = ID.DF.FI.


Câu IV. Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} + \sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}}
Câu I.
1) Hệ đã cho có thể viết lại như sau
\begin{cases}(x-1)(y^2+1)=-(y-2)\\(y-2)(x^2+1)=x-1\end{cases}
Sau đó nhân vế với vế của hai PT lại ta thu được
(x-1)(y-2)[(x^2+1)(y^2+1)+1]=0
\Leftrightarrow x=1 hoặc y=2
Đến đây xét từng trường hợp là okie rồi.

2) PT đã cho tương đương với
2(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}-2)=\dfrac{x^2+7}{x+1}-4
\Leftrightarrow \dfrac{2(x+\dfrac{3}{x}-4)}{\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}+2}=\dfrac{x^2-4x+3}{x+1}
\Leftrightarrow \dfrac{2(x^2-4x+3)}{x(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}+2)}=\dfrac{x^2-4x+3}{x+1}
\Leftrightarrow (x-1)(x-3)\left[\dfrac{2}{x(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}+2)}-\dfrac{1}{x+1}\right]=0
Đến đây ta chỉ cần quan tâm PT trong dấu [.]
\dfrac{2}{x(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}+2)}=\dfrac{1}{x+ 1}
\Leftrightarrow 2(x+1)=x(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}+2)
\Leftrightarrow 2=x\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}
\Leftrightarrow 4=x^3+3x^2
\Leftrightarrow (x-1)(x+2)^2=0

Câu II.
1) Ta đã biết rằng a^2\equiv 0,1,4 (mod 8)
Do đó a^4\equiv 0,1(mod 8)
Từ đó suy ra x^4+y^4\equiv 0,1,2 (mod 8)
Còn 7z^4+5 \equiv 4,5 (mod 8)
Điều này chứng tỏ ko tồn tại các số nguyên x,y,z thỏa mãn bài toán.

2) Khai triển và thu gọn PT đã cho ta được
8x^3+8x=y^3\quad \Rightarrow y phải chẵn.
y=2z Thay vào PT ta có
x^3+x=z^3 Đến đây ta xét 3 trường hợp
TH1. x=0\Rightarrow z=0 và do đó y=0
TH2. x>0\Rightarrow z>0 Khi đó
x^3<x^3+x<(x+1)^3 Suy ra PT vô nghiệm.
TH3. x<0\Rightarrow z<0 Khi đó ta lại đặt
x=-x',\ z=-z' trong đó x'>0,\ z'>0.
Thay trở lại PT ta được x'^3+x'=z'^3
Nhưng PT này vô nghiệm (theo lý luận ở trên).
Tóm lại PT đã cho chỉ có nghiệm duy nhất là x=y=0.

[Shyran]

Cách của mình:

Câu II.2:

Pt đã cho tương đương với: 8x^3+8x=y^3

Vì x, y nguyên nên y chia hết cho 2x, suy ra y=2nx. Thế vào pt ta được:

x^3+x=n^3x^3

\Leftrightarrow x[x^2(n^3+1)-1]=0

Biểu thức trong ngoặc vuông ko có nghiệm nguyên, vì vậy pt đã cho chỉ có nghiệm nguyên (x;y)=(0;0)

omo... 7 điểm là căng ...:(( trượt chắc :((

[bboy114crew]

bài này là hệ quả của bđt
\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\ge 1
với bộ số (x,y,y)
VT= \sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} = \sum \sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^3}} \geq \sum \sqrt{\frac{1}{1+\frac{b^2+c^2}{a^2}}}=\sum =\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}=1

[hien123]

MÔN: TOÁN (Vòng 1)

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I.
Giải hệ phương trình:
\begin{cases}(x-1)y^2+x+y=3\\(y-2)x^2+y=x+1\end{cases}
Giải phương trình:
\sqrt{x + \frac{3}{x}}=\frac{x^2 + 7}{2(x + 1)}


Câu II.
Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên (x, y, z) thỏa mãn đẳng thức:
x^4 + y^4 = 7z^4 + 5
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức:
(x + 1)^4 - (x - 1)^4 = y^3


Câu III.
Cho hình bình hành ABCD với \widehat{BAD} < 90^\circ. Đường phân giác của góc \widehat{BCD} cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng (d) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.
Chứng minh rằng \Delta OBE = \Delta ODC.
Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
Gọi giao điểm của OC và BD là I. Chứng minh rằng IB.BE.EI = ID.DF.FI.


Câu IV. Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} + \sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}}

Bài hệ có một lời giải khá tinh tế:
Ta có:(y-2)x^{2}=x+1-y. Nếu y>2\Rightarrow x+1>y>2\Leftrightarrow x>1. Thay x>1, y>2 vào PT thứ nhất của hệ ta bđược điều vô lí. Tương tự với y<2
Suy ra y=2, tìm được x=1. Dễ thấy cặp giá trị này thỏa mãn hệ đã cho
Phòng mình 100% chém hết đề vòng 1, mấy bạn ở Hà Nội còn ra trước 20 phút!!
Bài BĐT sau cùng mình cũng đặt ẩn phụ \frac{y}{x}. Ngoài ra: không mất tính tổng quát cho y=1
ta chỉ còn làm việc với BĐT 1 biến dễ dàng khảo sát bằng đạo hàm tuy nhiên cách THCS cũng rất tự nhiên và dễ nghĩ

[darkdevil]

Các bác ơi, bài 2a mình đi chuyển vế sag
x^{4}-7z^{4}+y^{4}=5
chứng minh cái x^{4}-7z^{4} \equiv 5 \pmod{5} có ổn không ạh X_X

[Galois_vn]

Câu I.


2) PT đã cho tương đương với
2(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}-2)=\dfrac{x^2+7}{x+1}-4
\Leftrightarrow \dfrac{2(x+\dfrac{3}{x}-4)}{\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}+2}=\dfrac{x^2-4x+3}{x+1}
\Leftrightarrow \dfrac{2(x^2-4x+3)}{x(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}+2)}=\dfrac{x^2-4x+3}{x+1}
\Leftrightarrow (x-1)(x-3)\left[\dfrac{2}{x(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}+2)}-\dfrac{1}{x+1}\right]=0
Đến đây ta chỉ cần quan tâm PT trong dấu [.]
\dfrac{2}{x(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}+2)}=\dfrac{1}{x+ 1}
\Leftrightarrow 2(x+1)=x(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}+2)
\Leftrightarrow 2=x\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}
\Leftrightarrow 4=x^3+3x^2
\Leftrightarrow (x-1)(x+2)^2=0




Tui lấy đề này cho đứa học trò luyện thi.

Câu 3) đứa học trò làm khá dài, không gọn gàng như novae.

còn câu ptr, làm như trên thật trâu bò (vì mới là hs lớp 9 thôi!).

Có thể tham khảo cách sau:

PT tương đương: (2x+1)\sqrt{x^3+3x}=x^3+7x

Đặt t=x^3+3x, thu được phtr bậc 2 theo t, với x là "tham số".
------------------------------
Cách của mình:

Câu II.2:

Pt đã cho tương đương với: 8x^3+8x=y^3

Vì x, y nguyên nên y chia hết cho 2x, suy ra y=2nx. Thế vào pt ta được:

x^3+x=n^3x^3

\Leftrightarrow x[x^2(n^3+1)-1]=0

Biểu thức trong ngoặc vuông ko có nghiệm nguyên, vì vậy pt đã cho chỉ có nghiệm nguyên (x;y)=(0;0)

omo... 7 điểm là căng ...:(( trượt chắc :((

y^3 chia hết x thì sao có y chia hêt x?