Đề kiểm tra chất lượng lần 2 lớp 10 chuyên Hạ Long

[tangchauphong]

Ngày kiểm tra : Thứ 3 ngày 30 tháng 8 năm 2011
Câu 1:
a) Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình sau:
(x+1)^4-(x-1)^4=y^3

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x^3+y^3=4z^3

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x^4-2y^4=3y^2+1
Câu 2:
a) Cho a,b>0 và a+b=1. Cmr:
(a+\frac{1}{b})^2 + (b+\frac{1}{a})^2 \ge \frac{25}{2}

b) Cho a, b, c, d >0 Cmr:
\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+ \frac{d^2}{a^5}\ge \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1} {d^3}

c) Cho a, b,c,d >0 thỏa mãn a^3+b^3+c^3+d^3=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A= \frac{a^2}{b^3+c^3+d^3} + \frac{b^2}{a^3+c^3+d^3} + \frac{c^2}{a^3+b^3+d^3} + \frac{d^2}{a^3+b^3+c^3}

Câu 3: Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6
a) Lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và số đó chia hết cho 5.
b) Lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và không có chữ số 5 hoặc 1.
c) Lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và 1,5 đứng cạnh nhau.

Câu 4:
a) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Điểm M thay đổi trên (O). Gọi A_1, B_1, C_1 lần lượt là điểm đối xứng với M qua các cạnh BC, CA, AB. Cmr 3 điểm A_1, B_1, C_1 thẳng hàng và đường thẳng tạo bởi 3 điểm này luôn đi qua một điểm cố định.
b) Cho đường tròn (O) và BC là một dây cung khác đường kính của đường tròn. Tìm vị trí điểm A thuộc cung lớn BC sao cho AC+AB đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5:
a) Cho 2001 số tùy ý. Cmr có thể chọn ra được 1 số hay 1 số số nào đó mà tổng các số đó chia hết cho 2001.
b) Cho a, b, c là 3 số nguyên phân biệt và đa thức P(x) có hệ số nguyên.
Cmr có ít nhất 1 trong các đẳng thức sau sai: P(a)=b, P(b)=c, P(c)=a

[je.triste]

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x^4-y^4=3y^2+1

Có x^4 = y^4 +3y^2 +1 \ge y^4 +2y^2 +1 = (y^2+1)^2 (1)
x^4 = y^4 +3y^2 +1 < y^4 +4y^2 +4 = (y^2+2)^2 (2)
Từ (1) và (2)
\Rightarrow (y^2+1)^2 \le x^4 < (y^2+2)^2

\Rightarrow (y^2+1)^2 = x^4 (3)
Thay x^4 = y^4 +3y^2 +1 vào (3), ta có
y^4 +2y^2 +1 = y^4 +3y^2 +1
\Leftrightarrow y^2 =0
\Leftrightarrow y=0
\Rightarrow x=1 hoặc x =-1

[liverpool29]

Câu 4:
a) Gọi I,L,K lần lượt là trung điểm của MC_1; MB_1; MA_1.
Do các tứ giác AIML; MLKC nội tiếp nên:
\widehat{ALI}=\widehat{IMA}.
Dễ dàng chứng minh \bigtriangleup{MAI} \backsim \bigtriangleup{MCK} và từ trên, ta có:
\widehat{ALI}=\widehat{IMA}=\widehat{KMC}=\widehat {CLK}.
Từ đây suy ra I,L,K thẳng hàng, suy ra A_1, B_1, C_1 thẳng hàng.( do IL \parallel C_1B_1; LK \parallel B_1A_1.)

b) Gọi A' là điểm chính giữa cung lớn BC.
Trên tia đối tia A'C, lấy E sao cho A'E=A'C.
Trên tia đối tia AC, lấy F sao cho AF=AC.
Ta suy ra CE=A'B+A'C; CF=AB+AC.
Ta có: \widehat{BAC}=\widehat{BA'C} nên \widehat{BFC}=\widehat{BEC}=\frac{1}{2} \widehat{BAC}=\frac{1}{2} \widehat{BA'C}.
Từ đây suy ra tứ giác BFEC nội tiếp. Mà \widehat{EBC}=90 nên \widehat{EFC}=90.
Nên ta suy ra CE \ge CF.
Vậy AB+AC có giá trị lớn nhất khi A là điểm chính giữa cung lớn BC.

[DaiToan]

Cau 5-b: Chỉ cần sử dụng tính chất cơ bản về đa thức nguyên
P(a)-P(b) chia hết cho a-b và phương pháp phản chứng

[caubemetoan96]

c) Cho a, b,c,d >0 thỏa mãn a^3+b^3+c^3+d^3=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A= \frac{a^2}{b^3+c^3+d^3} + \frac{b^2}{a^3+c^3+d^3} + \frac{c^2}{a^3+b^3+d^3} + \frac{d^2}{a^3+b^3+c^3}


Ta có \frac{a^2}{b^3+c^3+d^3} = \frac{a^2}{1-a^3}

Ta phải chứng minh \frac{a^2}{1-a^3} \geq \frac{4 \sqrt[3]{4}a^3}{3}

\Leftrightarrow \frac{ 1}{1-a^3} \geq \frac{4\sqrt[3]{4}a}{3}

\Leftrightarrow \frac{1}{3a^3 (1-a^3)^3} \geq \frac{256}{81}

Ta có 3a^3(1-a^3)^3 \leq \frac{(1+1+1)^4}{4^4}=\frac{81}{256}

Tới đây xong rồi
Lâu lắm rồi mới được trở lại 4rum=p~

[ladykillah96]

Câu 2:
a) Cho a,b>0 và a+b=1. Cmr:
(a+\frac{1}{b})^2 + (b+\frac{1}{a})^2 \ge \frac{25}{2}
Áp dụng Cauchy - Schwarz, ta có:
2\left[\left(a + \frac{1}{b}\right)^2 + \left(b + \frac{1}{a}\right)^2\right] \ge \left(a + \frac{1}{b} + b + \frac{1}{a}\right)^2 \ge \left(a + b + \frac{4}{a + b}\right)^2 = 25
Chia cả hai vế cho 2, ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}.


b) Cho a, b, c, d >0 Cmr:
\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+ \frac{d^2}{a^5}\ge \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1} {d^3}
Áp dụng AM - GM, ta có:
\frac{a^2}{b^5} + \frac{1}{a^2b} \ge \frac{2}{b^3}
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta được:
\left(\frac{a^2}{b^5} + \frac{b^2}{c^5} + \frac{c^2}{d^5} + \frac{d^2}{a^5}\right) + \left(\frac{1}{a^2b} + \frac{1}{b^2c} + \frac{1}{c^2d} + \frac{1}{d^2a}\right) \ge \frac{2}{a^3} + \frac{2}{b^3} + \frac{2}{c^3} + \frac{2}{d^3}
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} + \frac{1}{d^3} \ge \frac{1}{a^2b} + \frac{1}{b^2c} + \frac{1}{c^2d} + \frac{1}{d^2a}
hay
\frac{3}{a^3} + \frac{3}{b^3} + \frac{3}{c^3} + \frac{3}{d^3} \ge \frac{3}{a^2b} + \frac{3}{b^2c} + \frac{3}{c^2d} + \frac{3}{d^2a}
Lại theo AM - GM, ta có:
\frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} \ge \frac{3}{a^2b}
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta được:
3\left(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} + \frac{1}{d^3}\right) \ge \frac{3}{a^2b} + \frac{3}{b^2c} + \frac{3}{c^2d} + \frac{3}{d^2a}
Phép chứng minh hoàn tất. Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a = b = c = d.

[je.triste]

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x^3+2y^3=4z^3(1)


Em hỏi lại đề chủ topic rồi. Ở y^3 có hệ số 2
Bài này sử dụng phương pháp lùi vô hạn
Thấy VP \vdots 2
VT có 2y^3 \vdots 2

\Rightarrow x^3 \vdots 2
\Rightarrow x \vdots 2
Đặt x=2x_{0} với x_{0} là số nguyên
\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 8x_{0}^3 +2y^3 =4z^3
\Leftrightarrow 4x_{0}^3 + y^3 =2z^3 (2)
Lập luận tương tự ta có y \vdots 2. Đặt y=2y_{0} với y_{0} là số nguyên. Thay vào (2) và chia cả hai vế cho 2 được
2x_{0}^3 + 4y_{0}^3 =z^3 (3)
\Rightarrow z \vdots 2. Đặt z=2z_{0} với z_0 là số nguyên. Thay vào (3) rồi chia cả hai vế cho 2 được
x_{0}^3 +2y_{0}^3 =4z_{0}^3 (4)
\Rightarrow (x;y;z) là nghiệm của phương trình (1) thì (x_0;y_0;z_0) cũng là nghiệm của (1) trong đó x=2x_0; y=2y_0; z=2z_0
Lập luận như trên với cặp số (x_1;y_1;z_1) cũng là nghiệm của phương trình (1) trong đó x_0=2x_1; y_0=2y_1; z_0=2z_1
Cứ tiếp tục như vậy
Điều đó xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=0