VietnamMO 2008-Bài số 5

[n.t.tuan]

Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9?

[AnA]

Đếm các số như vậy nhưng không có số 9 hoặc có đúng một số 9. Dùng đệ quy thôi. :D

[dong1919]

Uh em cũng xài đệ quy và ra truy hồi rồi nhưng lại nhác tính quá :( đành bỏ mất 1 bài

[Traum]

Cần gì phải dùng đệ quy nhỉ? :nemoflow:

1. Tính số các số ko có chữ số 9 nào và chia hết cho 9 (số loại 1).

Giả sử m=\overline{a_1a_2...a_{2008}}. Ta có a_i=0,1,...,8.

Ta có số k=\overline{a_1a_2...a_{2007}} có 9^{2007} lựa chọn và a_{2008} có duy nhất 1 lựa chọn phụ thuộc vào k. Do đó ở trường hợp này số các số thỏa mãn là 9^{2007}

2. Tính số các số có không quá 2008 chữ số chia hết cho 9và có 1 chữ số 9 (số loại 2).

Ta loại chữ số 9 đó đi và đi tính số các số có 2007 chữ số chia hết cho 9 và có 0 chữ số 9. Như trên ta có số các số đó là 9^{2006}.

Nhưng ta có với mỗi số đó và số 9 thì cho ra 2008.9^{2006} số loại 2.

Vậy tổng cộng có 9^{2007}+2008.9^{2006} số cả hai loại 1 và 2.

Do đó số các số thỏa mãn bài toán ban đầu là \frac{10^{2008}+8}{9}-2017.9^{2006}

[let]

Hì let cũng tính giống cách của traum, có điều đoạn cuối traum nhầm tí nhỉ? Phải là \frac{10^{2008}+8}{9}-2017.9^{2006} nhỉ? (Chỗ \frac{10^{2008}+8}{9} là các số tự nhiên chia hết cho 9 tính cả 0)

[Traum]

uh! quên mất :))

[mathgod]

em cũng làm theo kiểu tìm số các số thỏa mãn với k chữ số ,Trong đó k chạy từ 2 đến 2008 ,em đã tìm ra công thức ứng với mỗi k.Chỉ việc cộng tổng lại là xong.Nhưng trong phòng thi cuống quá,nên em chư rút gọn dc tổng ấy.Ko biết có mất nhiều điểm ko ?

[thaithuan_GC]

Có cần rút gọn ko . Em nghĩ là ghi luôn cái tổng dài ngoẳng đó ra là đc rồi chứ ! Có anh nào làm bài mà ko rút gọn ko ? :)

[dong1919]

Anh nghĩ cần rút gọn , vì thế anh mới ko làm bài này mà làm bài khác :(

[let]

Chắc chắn là phải rút gọn! Không rút gọn thì còn nói làm gì!

[tuan khoa]

Đúng rồi, phải rút gọn chứ, kiểu như bài này:
f_k là số cách chia k kẹo cho n em bé, mỗi em có không quá hai cái kẹo, tính \sum_{k=1}^{2n} f_k
(Canada 2007)
Không rút gọn cọi như chưa làm gi.