RMO District Round, Bucharest 2008, 11th Grade

[thaithuan_GC]

Consider a sequence of reals (a_n){ n \geq 0 } , q \in (-1,1)\{0} and
x_n = \sum_{k=0}^n a_k.q^k , \forall n \geq 1
a) Prove that if (a_n){ n \geq 0} is bounded, than (x_n){ n \geq 0 } converges.
b) Exhibit an unbounded sequence (a_n){ n \geq 0 } for which (x_n){ n \geq 0 } converges.

[bookworm_vn]

câu đầu có vẻ dễ nhỉ, đánh giá cái trị tuyệt đối của x_n là đc, chú ý q và sự hội tụ của chuỗi cấp số nhân. Câu sau có vẻ củ chuối nhưng cũng dễ thôi

[99]

câu đầu có vẻ dễ nhỉ, đánh giá cái trị tuyệt đối của x_n là đc, chú ý q và sự hội tụ của chuỗi cấp số nhân. Câu sau có vẻ củ chuối nhưng cũng dễ thôi
Bác mọt viết cụ thể ra chứ ? Bác là mod thì phải gương mẫu chứ :D :matrix:

[bookworm_vn]

Bác mọt viết cụ thể ra chứ ? Bác là mod thì phải gương mẫu chứ :D :matrix:

câu đầu tiên nhé, vì dãy a_n bị chặn nên tạm giả thiết a_n \leq M với mọi n nhé.

Tiếp theo ta thấy

\left| {x_n } \right| \leq M\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\left| q \right|^n } = \frac{M}{{1 - \left| q \right|}}

vậy là xong nhé :secretsmile:

[bookworm_vn]

thực ra đây là một bài về chuỗi số hơn là 1 bài về dãy số, ở bài chuỗi này ta đã sử dụng dấu hiệu so sánh về sự hội tụ và 1 tính chất: chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ...