[VMO 2012] Bài 1 - Dãy số

[n.v.thanh]

Bài 1 (5 điểm).

Cho dãy số thực (x_n) xác định bởi :
\begin{cases}
& x_1=3\\
& x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)
\end{cases}

với mọi n\geq 2.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n\to\+\infty và Tính giới hạn đó.

[huynhcongbang]

Bài 1 (5 điểm).
Cho dãy số thực (x_n) xác định bởi :
\begin{cases}
& x_1=3\\
& x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)
\end{cases}

với mọi n\geq 2.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n\to\+\infty và Tính giới hạn đó.

Xử bài này trước vậy. :)
Ta có:
x_{n} - x_{n-1} = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2) - x_{n-1} = 2.\frac{n+2-(n-1)x_{n-1}}{3n}.
Ta cũng tính được x_2= \frac{20}{6} > \frac{5}{2} = \frac{2+3}{2}.
Ta sẽ chứng minh rằng dãy này giảm với n \ge 2 hay x_{n-1} \ge \frac{n+2}{n-1}, \forall n \ge 3 . (*)
Thật vậy, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
- Với n=3 thì theo nhận xét trên thì (*) đúng.
- Giả sử ta có x_{k-1} \ge \frac{k+2}{k-1}, k \ge 3.
Ta cần chứng minh x_k \ge \frac{k+3}{k} hay \frac{k+2}{3k}(x_{k-1}+2) \ge \frac{k+3}{k}.

Ta chứng minh \frac{k+2}{3k}(\frac{k+2}{k-1}+2) \ge \frac{k+3}{k}.
Biến đổi tương đương ta thấy bất đẳng thức này đúng.
Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm.

Dãy số này giảm mà bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn, giả sử giới hạn đó là k \ge 0.
Trong công thức đã cho, cho n tiến tới vô cực, ta được a = \frac{1}{3}(a+2) , suy ra a=1.
Vậy giới hạn cần tìm là 1.

[shido_soichua]

Bài này dễ mà suýt nữa thì ko làm đc hic hic

[mathstarofvn]

Xử bài này trước.
Ta có:
x_{n} - x_{n-1} = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2) - x_-{n-1} = 2.\frac{n+2-(n-1)x_{n-1}}{3n}.
Ta sẽ chứng minh rằng dãy này giảm với n \ge 2 hay x_{n-1} \ge \frac{n+2}{n-1}, \forall n \ge 2 .
Thật vậy, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
- Với n=2 thì x_1 = 3, đúng.
- Giả sử ta có x_{k-1} \ge \frac{k+2}{k-1}.
Ta cần chứng minh x_k \ge \frac{k+3}{k} hay
\frac{k+2}{3k}(x_{k-1}+2) \ge \frac{k+3}{k}.
Ta chứng minh \frac{k+2}{3k}(\frac{k+2}{k-1}+2) \ge \frac{k+3}{k}.
Biến đổi tương đương ta thấy bất đẳng thức này đúng.
Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm.

Dãy số này giảm mà bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn, giả sử giới hạn đó là k \ge 0.
Trong công thức đã cho, cho n tiến tới vô cực, ta được a = \frac{1}{3}(a+2) , suy ra a=1.
Vậy giới hạn cần tìm là 1.

Phải chứng minh quy nạp x_n \ge \frac{n+2}{n-1} sau đó cm nó là dãy giảm mới đúng.

[huynhcongbang]

Phải chứng minh quy nạp x_n \ge \frac{n+2}{n-1} sau đó cm nó là dãy giảm mới đúng.

Phải là x_{n-1} chứ bạn.

[MathForLife]

x_{n} mới đúng anh lữ ạ ^^!. Vì cho n=2 thấy có lỗi ngay anh ạ ^^!

[nhox12764]

Trong công thức đã cho, cho n tiến tới vô cực, ta được a = \frac{1}{3}(a+2) , suy ra a=1.
Vậy giới hạn cần tìm là 1.

Bài này em làm tới khúc tính giới hạn, thấy có n nên nghĩ là đưa sang giới hạn sẽ bị sai... Mất điểm rồi ... :sad:

[truongvoki_bn]

Bài 1[/TEX] (5 điểm).
Cho dãy số thực (x_n) xác định bởi :
\begin{cases}
& x_1=3\\
& x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)
\end{cases}

với mọi n\geq 2.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n\to\+\infty và Tính giới hạn đó.

Chứng minh quy nạp x_n>1+\frac{1}{n+3}>1
\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2})>\frac{n+2}{3n}(3+\frac{1}{n+2})=\frac{3n+7}{3n}>1+\frac{1}{n+3} và dãy {x_n} giảm với n\ge 2 là xong. Từ đó cho n tiến tới vô cực ta được giới hạn bằng 1.

[Hoanglong2011]

Phải chứng minh quy nạp x_n \ge \frac{n+2}{n-1} sau đó cm nó là dãy giảm mới đúng.
Thực ra chỉ cần CM x_n>1 là đủ để CM dãy giảm =p~

[khoile101]

Bài này mình dùng nguyên lí kẹp
\frac{n+3}{n}\le (x_n) \le \frac{n+2}{n-2} với n>5

[pco]

Mọi người có thể viết ra lời giải cho đầy đủ được không ? Cảm ơn nhiều.

[sang89]

x_{n} mới đúng anh lữ ạ ^^!. Vì cho n=2 thấy có lỗi ngay anh ạ ^^!

Phải là x_{n-1} chứ bạn.

Cho n \ge 3 thì bài của anh Lữ đúng rồi :-*.

Mọi người có thể viết ra lời giải cho đầy đủ được không ? Cảm ơn nhiều.

Xem lời giải ở #2.

[anhdunghmd]

Không biết gõ Latex, các bác thông cảm dùm.
Bài này dữ kiện x_1 = 3 không cần dùng thì phải.

[Brandnewworld]

Mình CM dãy giảm bằng quy nạp, và dãy bị chặn dưới bởi 0

[secret_secret]

Xin hỏi bài này có thể tìm được CTTQ của dãy Xn không?

[MathForLife]

Tóm tắt lời giải hình như là thế này:
Đầu tiên chứng minh x_n >1 với mọi n\ge 2 bằng quy nạp. Để chứng minh nó chặn dưới.
Sau đó chứng minh x_n>1+\frac{3}{n} với mọi n\ge 2 cũng bằng quy nạp dựa trên công thức tổng quát! Để chứng minh dãy giảm
Từ đó suy ra có giới hạn hữu hạn! Cho n dần về vô cùng thì có lim=1

[nghiepdu-socap]

Bài này mình dùng nguyên lí kẹp
\frac{n+3}{n}\le (x_n) \le \frac{n+2}{n-2} với n>5
Hình như x_n \le \frac{n+2}{n-1} nữa

[Traum]

Trước hết dự đoán giới hạn của dãy bằng cách lấy lim hai bên. Ta có a = 1/3(a+2) do đó giới hạn a = 1.
Đặt y_n = x_n - 1, thì 3n(y_{n} +1) = (n+2)(y_{n-1} + 3); hay 3ny_n = (n+2)y_{n-1} + 6.
Vì y_1 = x_1-1 = 2>0 nên y_n > 0 với mọi n.
Với n\ge 6 thì ta có 3n \ge 2(n+3) nên:
2(n+3)y_n \le (n+2)x_{n-1} + 6.
Đến đây ta xét dãy z_n = (n+3)y_n với n = 6,7,... (dãy bắt đầu với n = 6). Ta có z_6 = M <+\infty
Với n\ge 7 thì 2z_n \le z_{n-1} + 6, hay z_n\le \frac{1}{2}z_{n-1} + 3. Dễ dàng nếu đặt N = \max\{M,6\} thì : z_n \le 1/2z_{n-1} + 3 \le N.
Như vậy với n\ge 6 thì 0<(n+3)y_n\le N. Do đó \lim\limits_{n\to \infty}y_n = 0. Kết quả là \lim\limits_{n\to\infty}x_n = 1

[Traum]

Bài 1 (5 điểm).
Cho dãy số thực (x_n) xác định bởi :
\begin{cases}
& x_1=3\\
& x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)
\end{cases}

với mọi n\geq 2.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n\to\+\infty và Tính giới hạn đó.

Chứng minh rằng với x_1 bất kì thì giới hạn của dãy vẫn tồn tại và bằng 1

[huymai54c]

Tôi mới gõ được một phần lời giải, hầu hết có tham khảo trên diễn đàn, hy vọng các bạn hoàn thành nốt giúp tôi những phần còn lại.