Đề chọn đội tuyển lớp 10 Olympic 30/4 THPT chuyên Lê Hồng Phong-TP.HCM

[ptk_1411]

THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG-TP.HCM
ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC 30/4/2012
TOÁN 10-VÒNG 1
Thời gian: 120 phút

Bài 1: Giải phương trình (x\in \mathbb{R}):
\frac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=5-\sqrt{2}


Bài 2: Cho f(x)=ax^2+2bx+1 là đa thức hệ số thực thỏa |f(1)|\le 1 và |f(-1)|\le 1. Tìm giá trị lớn nhất của F=a^2+b^2


Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho tích các chữ số của nó(trong hệ cơ số 10) bằng x^2-10x-22.


Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H. Đường thẳng (d) bất kì qua H cắt AB, AC lần lượt tại P,Q. Đường thẳng (\Delta) qua H và vuông góc với PQ cắt BC tại M. Đường thẳng qua B và song song với PQ cắt AH tại K. Chứng minh rằng: MK\parallel AC.


Bài 5: Cho m,n là các số nguyên dương. Tìm số n nhỏ nhất sao cho tồn tại m để hình chữ nhật (3m+2) x (4m+3) phủ được bằng(tất cả các hình sau):
n hình vuông 1 x 1
n-1 hình vuông 2 x 2
............................
1 hình vuông n x n
Với n tìm được, hãy chỉ ra một cách phủ.

[n.v.thanh]

Bài hình thật khó đỡ :)). K là trực tâm BHM. Ngọc à =)).

[Only registered and activated users can see links]

[ptk_1411]

Anh Ngọc cũng vừa bảo em đổi đề bài hình đi cho đỡ nhục đấy anh ạ =))

[leminhthang]

[CENTER]

[B]Bài 5: Cho m,n là các số nguyên dương. Tìm số n nhỏ nhất sao cho tồn tại m để hình chữ nhật (3m+2) x (4m+3) phủ được bằng(tất cả các hình sau):
n hình vuông 1 x 1
n-1 hình vuông 2 x 2
............................
1 hình vuông n x n
Với n tìm được, hãy chỉ ra một cách phủ.

Bài hình và bài số quá dễ. Đề năm nay dở quá, không phát huy được thế mạnh mỗi người. Bài 5 lúc làm mới ghi ra được đáp số chưa ghi cách lát. Sau đây là cách giải :

Ta dễ tính được (3m+2)(4m+3)=\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12} suy ra n>3

Thay n=4,5,6,7 đều không nhận được giá trị m nguyên dương,

Ta chứng minh n=8 là giá trị nhỏ nhất thỏa đề bài. Ta có bảng trong file đính kèm.

Bạn Kha làm tốt không ? Kì này chắc khó có slot ở vòng 1 :O

[ptk_1411]

Làm cũng tạm được thôi Thắng :-j Mà thấy đứa nào cũng làm được như mình nên vòng 1 chắc chưa đánh giá được gì :-j

À mà bài 1, mới vào khủng bố tinh thần nhỉ =))

[NguyenThanhThi]

Mấy bạn cho mình hỏi đã có kết quả chưa?Người cao nhất làm được mấy bài?Mấy điểm?:barrywhite::barrywhite::barrywhite:

[Anh Khoa]

Bài 1 khủng thật, thấp thoáng lượng giác hóa ở đây :)) Trường em thi sớm vậy Kha :D

[thephuong]

Bài 3 quen nhỉ :)
Ta giải thông qua kết quả sau:
Cho số A = \overline{a_1a_2...a_n}
Chứng minh a_1a_2...a_n \ge A
.
Chứng minh điều này như sau: A \ge a_1.10^{n-1} \ge a_1.a_2.a_3...a_n
Trở lại bài toán:
Sữ dụng kết quả trên và nhận xét tích các chữ số của x không âm:
0 \ge x^2 - 10x - 22 \ge x
Từ đó suy ra x = 12.
Thử lại thỏa mãn.
Kết luận x = 12

[hoduckhanhgx]

Nói chung đề này thì học sinh lớp 9 làm cũng đủ đậu :D, còn cái bài cực trị nữa, không ra dáng cực trị gì cả, đề thế này thì không phát huy được thế mạnh mỗi người cũng đúng rồi. Mỗi bài toán ra thì phải hay và đủ khó, mang đậm tính chất của phân môn đó thì đề đó mới hay được, mới phát huy được thế mạnh mỗi người được =p~.

[thephuong]

Nói chung đề này thì học sinh lớp 9 làm cũng đủ đậu :D, còn cái bài cực trị nữa, không ra dáng cực trị gì cả, đề thế này thì không phát huy được thế mạnh mỗi người cũng đúng rồi. Mỗi bài toán ra thì phải hay và đủ khó, mang đậm tính chất của phân môn đó thì đề đó mới hay được, mới phát huy được thế mạnh mỗi người được =p~.

Xin lỗi bạn chứ đây mới chỉ là vòng một và thậm chí chưa biết bao nhiêu điểm sẽ đậu sao bạn dám khẳng định lớp 9 làm cũng đủ đậu?

[huynhcongbang]

Bài 1: Giải phương trình (x\in \mathbb{R}):
\frac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=5-\sqrt{2}

Bài này có lẽ theo hướng này:
Đặt a = \frac{2x}{1+x^2}, b = \frac{1-x^2}{1+x^2}. Ta thấy rằng a^2+b^2=1.
Phân thức thứ nhất là 4ab.
Phân thức thứ hai là \frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2} = \frac{\sqrt{2}(1+x^2)+\sqrt{2}(x^2-1)+6\sqrt{2}x}{1+x^2} = \sqrt{2}+\sqrt{2}(-b+3a).

Suy ra phương trình đã cho chính là 4ab - \sqrt{2}(3a-b) = 5.
Ta có hệ phương trình
\left\{\begin{matrix} 4ab - \sqrt{2}(3a-b) = 5 \\ a^2+b^2=1 \end{matrix}\right.

Các bạn làm tiếp thử xem. :)
Bài này nếu mà tử của phân thức thứ 2 là 2\sqrt{2}x(x+1) thì tốt quá!

[Anh Khoa]

Bài 1: Giải phương trình (x\in \mathbb{R}):
\frac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=5-\sqrt{2}

Bài này có lẽ theo hướng này:
Đặt a = \frac{2x}{1+x^2}, b = \frac{1-x^2}{1+x^2}. Ta thấy rằng a^2+b^2=1.
Phân thức thứ nhất là 4ab.
Phân thức thứ hai là \frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2} = \frac{\sqrt{2}(1+x^2)+\sqrt{2}(x^2-1)+6\sqrt{2}x}{1+x^2} = \sqrt{2}+\sqrt{2}(-b+3a).

Suy ra phương trình đã cho chính là 4ab - \sqrt{2}(3a-b) = 5.
Ta có hệ phương trình
\left\{\begin{matrix} 4ab - \sqrt{2}(3a-b) = 5 \\ a^2+b^2=1 \end{matrix}\right.

Các bạn làm tiếp thử xem. :)
Bài này nếu mà tử của phân thức thứ 2 là 2\sqrt{2}x(x+3) thì tốt quá!

Em thấy chỗ cái hệ hơi bị kẹt, em đặt x=\tan t thì cũng được cái hệ như anh :))

[pth_tdn]

Em cũng đưa về hệ, sau đó tính a theo b để đưa về 1 phương trình bậc 4 của b và biến đổi một chút thông qua ẩn phụ để làm đẹp hệ số thì có phương trình (ẩn t=b\sqrt{2}): 4t^4+4t^3+2t^2+22t+23=0 và cm phương trình này vô nghiệm.

[ptk_1411]

Em cũng đưa về hệ, sau đó tính a theo b để đưa về 1 phương trình bậc 4 của b và biến đổi một chút thông qua ẩn phụ để làm đẹp hệ số thì có phương trình (ẩn t=b\sqrt{2}): 4t^4+4t^3+2t^2+22t+23=0 và cm phương trình này vô nghiệm.

Huy nói rõ xem nào (ý tui là cách nào chứng minh cái bậc 4 ấy vô nghiệm mà không xài đạo hàm đấy):)

À mà bài 2 chưa ai làm nhỉ :D

@ anh Khoa: sau tết còn thi thêm 2 vòng nữa anh ạ :)

[Anh Khoa]

@Kha : nhìn mấy cái này nhớ hồi xưa =)), em có quen đứa nào ở MK kêu nó post đề lên đi!
Với cái đề này nếu là anh lớp 9 ngày xưa chắc tịt ngòi =)) vậy mà bác nào bảo lớp 9 làm cũng đủ đậu mới đau :(( Nhìn lại thấy mình tệ hại quá! :-??

[NguyenThanhThi]

Bài 3:Mình xin làm như thế này mong các bạn góp ý.Đầu tiên ta thấy x=12 là số cần tìm.Với x nhỏ hơn 12 t dễ dàng loại bởi tích các chữ số ko thể âm.Với x lớn hơn 12 thì ko nhân dc do hàm trên đồng biến và giá trị của đa thức ấy vượt trội so vs tích các chữ số

[pco]

Em vừa chém xong câu 3 bên VMF, định ghi lời giải sang đây nhưng sắp đi học nên xin dẫn link lời giải, mong mọi người tha thứ
[Only registered and activated users can see links]

[pth_tdn]

2. a+2b+1=f(1); a-2b+1=f(-1) \rightarrow a=\frac{f(1)+f(-1)-2}{2}, b=\frac{f(1)-f(-1)}{4}.
Đặt f(1)=x; f(-1)=y.
Ta có: a^2+b^2=(\frac{x+y-2}{2})^2+(\frac{x-y}{4})^2=\frac{1}{16}.(4x^2+4y^2+8xy+16-16x-16y+x^2+y^2-2xy)=\frac{1}{16}.(5x^2+5y^2+6xy-16x-16y+16)
\leq \frac{1}{16}.(5+5+6+16+16+16)=4
Đẳng thức xảy ra khi f(1)=f(-1)=-1
b=0, a=-2.

[TrauBo]

@TrauBo: Thế hóa ra làm bài xong là các bác LHP vào đây chém à:banzai:

Huy nói rõ xem nào (ý tui là cách nào chứng minh cái bậc 4 ấy vô nghiệm mà không xài đạo hàm đấy):)

À mà bài 2 chưa ai làm nhỉ :D

@ anh Khoa: sau tết còn thi thêm 2 vòng nữa anh ạ :)

Vớ vẩn thi lớp 10 đạo hàm gì ở đây, lớp mình có thằng Huy rảnh nên nó xài thôi:O

2. a+2b+1=f(1); a-2b+1=f(-1) \rightarrow a=\frac{f(1)+f(-1)-2}{2}, b=\frac{f(1)-f(-1)}{4}.
Đặt f(1)=x; f(-1)=y.
Ta có: a^2+b^2=(\frac{x+y-2}{2})^2+(\frac{x-y}{4})^2=\frac{1}{16}.(4x^2+4y^2+8xy+16-16x-16y+x^2+y^2-2xy)=\frac{1}{16}.(5x^2+5y^2+6xy-16x-16y+16)
\leq \frac{1}{16}.(5+5+6+16+16+16)=4
Đẳng thức xảy ra khi f(1)=f(-1)=-1
b=0, a=-2.

Cách khác: Khi đã tính được a=\frac{f(1)+f(-1)-2}{2}, b=\frac{f(1)-f(-1)}{4} ta suy ra:
|a+b|=|\frac{3f(1)}{4}+\frac{f(-1)}{4}-1| \leq 2
|a-b|=|\frac{3f(-1)}{4}+\frac{f(1)}{4}-1| \leq 2
\Rightarrow a^2+b^2=\frac{|a+b|^2+|a-b|^2}{2} \leq 4

[TrauBo]

@TrauBo: ơ vậy là bài 1 vẫn chưa có cách giải hoàn chỉnh nhỉ+_+. TrauBo có hướng đi này mọi người xem thử nhé (hi vọng đúng nhỡ sai thì đi toi 2đX_XX_X).
Quy đồng.... và rút gọn hết ta được phương trình
(5+\sqrt{2})x^4+(6\sqrt{2}+8)x^3+10x^2+(6\sqrt{2}-8)x+5-\sqrt{2}=0

\Leftrightarrow f(x)=2\sqrt{2}x^4+16x^3+(5-\sqrt{2})x^4+(6\sqrt{2}-8)x^3+10x^2+(6\sqrt{2}-8)x+5-\sqrt{2}=0

Vế trái là 1 hàm đa thức vô nghiệm, liên tục và có đạo hàm trên R nên ta cm VT>0. Đặt 2\sqrt{2}x^4+16x^3=g(x) và phần còn lại là h(x).
Dùng đạo hàm cm được g(x) \geq g(-3\sqrt{2})
Còn h(x) là 1 đa thức bậc 4 có hệ số đối xứng nên đặt t=x+\frac{1}{x} (x=0 không là nghiệm nên loại) ta được 1 tam thức bậc 2. Cũng cm được h(x) \geq k theo công thức ax^2+bx+c \geq \frac{4ac-b^2}{4a} (a>0) (k là cái đống bùi nhùi gì đó)
Vậy f(x)=VT \geq g(-3\sqrt{2})+k >0

Trên lí thuyết thì có thể xét ngay đạo hàm của f(x) nhưng giải cái phương trình f'(x)=(20+4\sqrt{2})x^3+(18\sqrt{2}+24)x^2+20x+ 6 \sqrt{2}-8=0 mà xài Cardano chắc tiêu quáX_X.

Gần hết giờ nên nghĩ đc có vậy:-<:-<.

[let it be]

Bài 1: Giải phương trình (x\in \mathbb{R}):
\frac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=5-\sqrt{2}

Bài 1 mình chỉ có ý thế này:

Phương trình tương đương: \frac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}+5-\sqrt{2}>0

Suy ra 0< x< 1 hay x<-1.

Liệu tới đây có giúp ích được gì cho phần đạo hàm không nhỉ?

Ps: đến lúc này cách của bạn pth_tdn có vẻ đẹp nhất (vì ra phương trình bậc 4 hệ số nguyên), nhưng hình như cũng không thoát được cách đạo hàm :(

[KHOA19128]

Bài 1 mình chỉ có ý thế này:

Phương trình tương đương: \frac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}+5-\sqrt{2}>0

Suy ra 0< x< 1 hay x<-1.

Liệu tới đây có giúp ích được gì cho phần đạo hàm không nhỉ?

Ps: đến lúc này cách của bạn pth_tdn có vẻ đẹp nhất (vì ra phương trình bậc 4 hệ số nguyên), nhưng hình như cũng không thoát được cách đạo hàm :(

Phương trình đã cho tương đương với:
\[x[ - \sqrt 8 {x^3} - (3\sqrt 8 + 8){x^2} - \sqrt 8 x + 8 - 3\sqrt 8 ] = (5 - \sqrt 2 ){(1 + {x^2})^2}\]
khi đó
\[x \ge 0 \Rightarrow vt \le 0,ptvn\]
\[x < 0 \Rightarrow - x > 0\](nên xét đa thức bậc ba bên trái xem âm hay dương)
đặt \[y = - x > 0\]
Khi đó ta khai triển và xét phương trình sau:
\[ \Leftrightarrow (5 + \sqrt 2 ){y^4} - (8 + 6\sqrt 2 ){y^3} + 10{y^2} + (8 - 6\sqrt 2 )y + 5 - \sqrt 2 = 0\] với \[y > 0\] đến đây chắc dùng cách phân tích hay đạo hàm gì đó để chứng minh nó vô nghiệm!

[tranvuxuannhat]

Mình xin đóng góp 1 cách giải cho bài 1. thực hiện biến đổi như anh huynhcongbang đến khi thu được hệ. Đặt a=\sin(t) , b=\cos(t)với t\in (0;\frac{\Pi}{2}) khi đó với chú ý rằng 3\sin(t)- \cos(t) = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})+2\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4}) và \sin2t=\cos(2t-\frac{\pi}{2})=\cos^2(t-\frac{\pi}{4})-\sin^2(x-\frac{\pi}{4})=\sin^2(x+\frac{\pi}{4})-\sin^2(x-\frac{\pi}{4}) và đặt m=\sin(x+\frac{\pi}{4}), n=\sin(x-\frac{\pi}{4}) ta được pt 2m^2-2n^2-2m-4n=5 coi đây là pt ẩn m thì pt có 1 ng dương duy nhất là \frac{1+\sqrt{4n^2+8n+11}}{2} \ge \frac{1+\sqrt{7}}{2} với mọi n. chú ý rằng t\in (0;\frac{\Pi}{2}) thi m luôn dương. do đó pt ko có nghiệm m thỏa. vậy pt đã cho vô nghiệm

[VinhPhucNK]

Mình xin đóng góp 1 cách giải cho bài 1. thực hiện biến đổi như anh huynhcongbang đến khi thu được hệ. Đặt a=\sin(t) , b=\cos(t)với t\in (0;\frac{\Pi}{2}) khi đó với chú ý rằng 3\sin(t)- \cos(t) = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})+2\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4}) và \sin2t=\cos(2t-\frac{\pi}{2})=\cos^2(t-{\pi}{4})-\sin^2(x-{\pi}{4})=\sin^2(x+\frac{\pi}{4})-\sin^2(x-\frac{\pi}{4}) và đặt m=\sin(x+\frac{\pi}{4}), n=\sin(x-\frac{\pi}{4}) ta được pt 2m^2-2n^2-2m-4n=5 coi đây là pt ẩn m thì pt có 1 ng dương duy nhất là \frac{1+\sqrt{4n^2+8n+11}}{2} \ge \frac{1+\sqrt{7}}{2} với mọi n. chú ý rằng t\in (0;\frac{\Pi}{2}) thi m luôn dương. do đó pt ko có nghiệm m thỏa. vậy pt đã cho vô nghiệm

Mình nghĩ bạn nên xuống dòng cho dễ nhìn. Cái đoạn cuối tại sao m không thỏa bạn có thể giải thích kĩ hơn không?

[tranvuxuannhat]

Vì m luôn dương mà nghiệm dương duy nhất của pt luôn lớn hơn 1 nên ko co nghiệm thỏa.
ở đây mình chỉ mới làm a,b dương thôi, còn a,b âm chắc đi theo hướng này nhưng nghĩ chưa ra.( a,b cùng dấu vì 0\le x \le 1 hoặc x \le -1

[TrauBo]

@TrauBo: lời giải bài phương trình.

@TrauBo: Xin trân trọng giới thiệu lời giải cho Thử Thách Thứ 2X_X
\frac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=5-\sqrt{2} (*)

Đặt a=\frac{2x}{1+x^2};b=\frac{1-x^2}{1+x^2}
Ta tính được \frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=\sqrt{2}(3a-b+1) và a^2+b^2=1 nên (*) trở thành:
4ab-\sqrt{2}(3a-b+1)=5-\sqrt{2}
\Leftrightarrow 4ab-\sqrt{2}(3a-b)=5=3+2a^2+2b^2
\Leftrightarrow 2(a-b)^2+3-\sqrt{2}(a-3b)=0
\Leftrightarrow 2(a-b)^2-\sqrt{2}[2(a-b)-(a+b)]+3=0
\Leftrightarrow [\sqrt{2}(a-b)]^2-2\sqrt{2}(a-b)+1+\sqrt{2}(a+b+\sqrt{2})=0
\Leftrightarrow [\sqrt{2}(a-b)-1]^2+\sqrt{2}(a+b+\sqrt{2})=0 (**)


Ta cũng có |a+b| \le \sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{2} \Rightarrow a+b \ge -\sqrt{2}.
Vậy (**) có VT \ge 0= VP và đẳng thức không xảy ra.
Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Bài này theo mình có 2 chỗ "đáng sợ" khiến chúng ta khó lòng tìm ra:
1) Tách 5=3+2(a^2+b^2)
2) Tách a-3b=2(a-b)-(a+b). Thông thường muốn xuất hiện (a-b) cho hằng đẳng thức ta chỉ tách a-3b=a-b-2b nhưng lời giải này còn "cao tay" hơn 1 bước!

Dù sao cũng đã xong, cảm tạ mọi người!:beated:

[Mai Nguyen]

THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG-TP.HCM
ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC 30/4/2012
TOÁN 10-VÒNG 1
Thời gian: 120 phút

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho tích các chữ số của nó(trong hệ cơ số 10) bằng x^2-10x-22.


Vì tích các chữ số của 1 số nguyên là không âm nên x^{2}-10x-22\geq 0 giải bpt ta được x\geq 12(1)
Lại có tích của các chữ số của một số không lớn hơn chính số đó nên x^{2}-10x-22\leq x suy ra -1\leq x\leq 12(2)
Kết hợp (1) và (2) ta có x=12

[leminhthang]

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC 30/4 THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG-TP.HCM (VÒNG 2)

Thời gian: 90 phút

Bài 1: Cho a,b,c là 3 số thực dương, giải hệ pt sau:

\left\{\begin{matrix}ax+by=(x-y)^2
\\ by+cz=(y-z)^2
\\ ax+cz=(z-x)^2

\end{matrix}\right.

Bài 2: Cho x,y,z là các số thực thỏa x\geq 2z\geq 1,x+4y\geq 3. CMR 2x^2+8y^2+4z^2-(x+4y+2z)\geq 1

Bài 3: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D,E,F lần lượt thuộc BC,AC,AB sao cho AD,BE,CF đồng quy tại O. Gọi H là hình chiếu của D trên EF. X,Y,Z,T lần lượt là hình chiếu của H trên AE,AF,OE,OF. Gọi K là giao điểm của EF và BC, J là giao điểm của AO và EF.
a) CMR (KDBC)=-1
b) CMR X,Y,Z,T cùng thuộc 1 đường tròn.

Bài 4: Cho 4 số nguyên dương a,b,c,d thỏa ad=b^2+c^2+bc. CMR a^2+b^2+c^2+d^2 lả hợp số

[lihoangto]

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC 30/4 LHP (VÒNG 2)

Bài 1: Cho a,b,c là 3 số thực dương, giải hệ pt sau:

\left\{\begin{matrix}ax+by=(x-y)^2
\\ by+cz=(y-z)^2
\\ ax+cz=(z-x)^2

\end{matrix}\right.

Bài 2: Cho x,y,z là các số thực thỏa x\geq 2z\geq 1,x+4y\geq 3. CMR 2x^2+8y^2+4z^2-(x+4y+2z)\geq 1

Bài 3: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D,E,F lần lượt thuộc BC,AC,AB sao cho AD,BE,CF đồng quy tại O. Gọi H là hình chiếu của D trên EF. X,Y,Z,T lần lượt là hình chiếu của H trên AE,AF,OE,OF. Gọi K là giao điểm của EF và BC, J là giao điểm của AO và EF.
a) CMR (KDBC)=-1
b) CMR X,Y,Z,T cùng thuộc 1 đường tròn.

Bài 4: Cho 4 số nguyên dương a,b,c,d thỏa ad=b^2+c^2+bc. CMR a^2+b^2+c^2+d^2 lả hợp số
Chém 2 bài dễ nhất :D
Bài 2:
VT = 2(x^{2}-2x+1)+3x-2+2(4y^{2}-4y+1)+4y-2+(4z^{2}-4z+1)+2z-1

=2(x-1)^{2}+2(2y-1)^{2}+(2z-1)^{2}+x+4y+2x+2x-5 \geq 3+2+1-5 = 1 = VP

Bài 4:
ad=b^{2}+bc+c^{2} \Leftrightarrow (a+d)^{2}-(b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}

\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=(a+d-b-c)(a+b+c+d)

Ta có ad=b^{2}+bc+c^{2} \Rightarrow ad+bc=(b+c)^{2}

\frac{(a+d)^{2}}{2}\geq 2ad > ad+bc = (b+c)^{2}

\Rightarrow (a+d)>(b+c)\sqrt{2}
\Rightarrow (a+d-b-c)>(\sqrt{2}-1)(b+c)> 1 (b,c \in N^{*})

\rightarrow (a+d-b-c) \geq 2

Mà (a+b+c+d) \geq 4 & (a,b,c,d \in N^{*})

nên (a+d-b-c)(a+b+c+d) là hợp số \rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} là hợp số

[lihoangto]

Bài 2 có thể được giải bằng cách BCS (dù dài hơn cách kia nhiều :D)
Bđt cần c/m \Leftrightarrow \frac{5}{2}(x^2+4y^2+2z^2)\geq \frac{5}{4}(x+4y+2z) +\frac{5}{4}

\frac{5}{2}(x^2+4y^2+2z^2)=[1^2+1^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2][x^2+(2y)^2+(z\sqrt{2})^2]
\geq^{BCS} (x+2y+z)^2

Ta cần c/m

(x+2y+z)^2 \geq \frac{5}{4}(x+4y+2z)+\frac{5}{4}

\Leftrightarrow (2x+4y+2z)^2 \geq 5(x+4y+2z)+5

\Leftrightarrow x^2 + 2x(x+4y+2z) + (x+4y+2z)^2 \geq 5(x+4y+2z) +5

\Leftrightarrow (x^2 - 1) + 2(x+4y+2z)(x-1) + (x+4y+2z)^2 \geq 3(x+4y+2z) + 4

Vì (x^2 -1 )\geq 0 và 2(x+4y+2z)(x-1) \geq 0 nên

ta cần c/m (x+4y+2z)^2 \geq 3(x+4y+2z) + 4

\Leftrightarrow (x+4y+2z-4 )(x+4y+2z+1) \geq 0 ( đúng do điều kiện giả thiết ). Vậy bđt đc cm
------------------------------
Có 3 ước tự nhiên. :barrywhite::barrywhite:

Ý bạn là (a+d-b-c),(a+b+c+d) và (a+d-b-c)(a+b+c+d)? Nếu a+d-b-c=1 thì chưa chắc điều đó đúng.

[pth_tdn]

1. Giả sử x,y,z \neq 0.
Ta có: (Xem a,b,c như ba ẩn và giải hệ pt bậc nhất):
a=\frac{(x-y)(x-z)}{x}; b=\frac{(y-z)(y-x)}{y}; c=\frac{(z-x)(z-y)}{z}.
Trong x,y,z có một số nằm giữa hai số còn lại (các số phân biệt do a,b,c>0). Như vậy số đó phải bé hơn 0. (do tử dương, a,b,c dương).
Khi đó, số nhỏ nhất lại dương (do tử dương, a,b,c>0). Vô lí.
Vậy trong x,y,z có ít nhất một số bằng 0.
*x=0:
by=y^2 \Rightarrow y=0 or b=y.
cz=z^2 \Rightarrow z=0 or z=c.
by+cz=(y-z)^2.
Nếu y=0 thì z=0 or z=c.
Nếu y=b thì z^2-2bz=cz=z^2 \Rightarrow bz=0 \Rightarrow z=0.
Vậy ta có nghiệm (x,y,z)=(0,0,c);(0,b,0);(0,0,0).
Tương tự cho y=0, z=0.
KL: (x,y,z)=(a,0,0); (0,b,0); (0,0,c); (0,0,0)..

[pth_tdn]

Bài hình :D
a) Hình như là một định lí về hàng điểm điều hòa (có thể cm bằng Ceva và Menelaus).
b) Ta có: E(BCKD)=-1 \Rightarrow E(OAJD)=-1 \Rightarrow H(OAJD)=-1
Mà HD vuông góc với HJ, nên (theo một định lí khác về hàng điểm điều hòa), HJ là phân giác của \widehat{AHO}.
Chú ý rằng \widehat{ZXY}=\widehat{ZXH}+\widehat{HXY}=\widehat {HAF}+\widehat{HEO} (do HXEZ, HXAY nội tiếp).
Tương tự \widehat{ZTY}=\widehat{HOE}+\widehat{HFA}.
Mà \widehat{HAF}+\widehat{HFA}=\widehat{AHE}=\widehat {EHO}=180-\widehat{HEO}-\widehat{HOE}.
Vậy \widehat{ZTY}+\widehat{ZXY}=180, hay XYZT nội tiếp.

[leminhthang]

Bài 2 bđt thầy mình nói có cách giải sử dụng khai triển tổng abel, bạn nào có thể giải giùm mình bằng cách này không? :D

[5434]

Ý bạn là (a+d-b-c),(a+b+c+d) và (a+d-b-c)(a+b+c+d)? Nếu a+d-b-c=1 thì chưa chắc điều đó đúng.
1, (a+b+c+d), (a+d-b-c)(a+b+c+d) do 1<(a+b+c+d)<(a+d-b-c)(a+b+c+d)