PDA

View Full Version : Problems on Separable and Inseparable Extensions


Yutaka
12-03-2008, 05:10 PM
1, If F\subset L\subset K are fields such that K/F is separable, show that L/F and K/L are separable.

2, If K is a field extension of F and if \alpha \in K is not separable over F, show that \alpha^{p^m} is separable over F for some m\geq 0, where p=char(F).

3, Let F\subset L\subset K be fields such that K/L is normal and L/F is purely inseparable. Show that K/F is normal.

Lonely
13-03-2008, 09:55 AM
1, If F\subset L\subset K are fields such that K/F is separable, show that L/F and K/L are separable.
Làm bài dễ trước vậy, bài khó để các bạn khác. :hornytoro:
Mỗi phần tử thuộc L đều thuộc K và do đó tách được trên F, do vậy L/F tách được. Mỗi phần tử a của K ta có min(F,a) chia hết cho min(L,a) trong L[x], chú ý là min(F,a) tách được do K/F tách được, ta có min(L,a) cũng tách được, suy ra a tách được trên F. Và chúng ta có điều cần chứng minh.

Yutaka
13-03-2008, 05:40 PM
4, Let F be a field of characteristic p>0, and let a\in F-F^p. Show that x^p-a is irreducible over F.

5, Let F be a field of characteristic p>0, and let K be a purely inseparable extension of F with [K:F]=p^n. Prove that a^{p^n}\in F\;\;\forall a\in K.

6, Let K and L be extensions of F. Show that KL is separable over F if both K and L are separable over F. Is the converse true?

Lonely
13-03-2008, 09:20 PM
6, Let K and L be extensions of F. Show that KL is separable over F if both K and L are separable over F. Is the converse true?
Gọi S là bao đóng tách được của F trong KL, đương nhiên S là một trường con của KL. Vì K và L là tách được trên F nên S chứa cả K và L , vậy nó chứa cả KL. Bởi vậy S=KL , và ta có điều cần chứng minh. Ngược lại chắc là sai nhưng tớ chưa tìm ra ví dụ.

4, Let F be a field of characteristic p>0, and let a\in F-F^p. Show that x^p-a is irreducible over F.
Nếu p=2 thì bài toán là đơn giản, sau đây ta chỉ xét p>2, lúc đó p là số lẻ.
Đa thức đó có duy nhất nghiệm trong trường phân rã K của nó trên F, ta gọi nghiệm này là b, và thu được x^p-a=(x-b)^p(*) trong K[x]. Bây giờ giả sử ngược lại rằng nó không bất khả quy trên F, hay x^p-a=f.g, với f,g thuộc F[x]. Trong K[x] ta có f=(x-b)^m,g=(x-b)^n , với m và n là bậc của f và g tương ứng. Từ đây suy ra b^m và b^n nằm trong F, do vậy b nằm trong F (vì m và n nguyên tố cùng nhau). Cuối cùng, bởi (*) ta có a=b^p\in F^p, mâu thuẫn với giả thiết.

5, Let F be a field of characteristic p>0, and let K be a purely inseparable extension of F with [K:F]=p^n. Prove that a^{p^n}\in F\;\;\forall a\in K.

Giả sử a là một phần tử bất kỳ của K, cố định nó. Vì K là purely inseparable extension của F nên min(F,a)=(x-a)^{p^m}, suy ra [F(a):F]=p^m\leq p^n và a^{p^m}\in F. Do đó a^{p^n}=(a^{p^m})^{p^{n-m}}\in F, và bài toán được giải. :hornytoro:

2, If K is a field extension of F and if \alpha \in K is not separable over F, show that \alpha^{p^m} is separable over F for some m\geq 0, where p=char(F).

Ta có thể viết min(F,\alpha)=f(x^{p^m}), với f nằm trong F[x] , và nó là bất khả quy và tách được trên F. Mà ta có f=min(F, \alpha^{p^m}), suy ra bài toán được giải. :hornytoro: