Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Quốc học Huế năm học 2012 - 2013

[angel.killer39]

Bài 1 (2 điểm)

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=x+y+8 & \\ x(x-1)y(y-1)=12 & \end{matrix}\right.$

Bài 2 (2 điểm)

Cho các số thực $u,v$ sao cho:

$(u+\sqrt{u^2+2})(v-1+\sqrt{v^2-2v+3})=2$

Chứng minh rằng: $u^3+v^3+3uv=1$

Bài 3 (2 điểm)

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho đoạn thẳng $OO'$ cắt đường thẳng $AB$. Đường thẳng $\triangle $ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $C$, tiếp xúc với $(O')$ tại $D$ và sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\triangle $ lớn hơn khoảng cách từ $B$ đến $\triangle $. Đường thẳng qua $A$ song song với đường thẳng $\triangle $ cắt đường tròn $(O)$ thêm điểm $E$ và cắt đường tròn $(O')$ thêm điểm $F$. Tia $EC$ cắt tia $FD$ tại $G$. Đường thẳng $EF$ cắt các tia $CB$ và $DB$ tại $H$ và $K$

a) Chứng minh tứ giác $BCGD$ nội tiếp
b) Chứng minh tam giác $GHK$ cân

Bài 4 (2 điểm)

a) Tìm các số nguyên dương lẻ $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: $x<y<z$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}$

b) Chứng minh tồn tại $2013$ số nguyên dương $a_1,a_2,a_3,.....,a_{2013}$ sao cho:
$a_1<a_2<a_3<...<a_{2013}$ và $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+....+\f rac{1}{a_{2013}}=1$

Bài 5 (2 điểm)

a) Chứng minh rằng diện tích của những tứ giác có các đỉnh nằm trong hoặc trên một đường tròn bán kính $R$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng $2R^2$

b) Cho $x$ và $y$ là các số thực dương thay đổi sao cho $x+y=2$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=\frac{x^2+3y^2}{2xy^2-x^2y^3}$

[hien123]

Bài 1 (2 điểm)

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=x+y+8 & \\ x(x-1)y(y-1)=12 & \end{matrix}\right.$

Bài 2 (2 điểm)

Cho các số thực $u,v$ sao cho:

$(u+\sqrt{u^2+2})(v-1+\sqrt{v^2-2v+3})=2$

Chứng minh rằng: $u^3+v^3+3uv=1$

Bài 3 (2 điểm)

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho đoạn thẳng $OO'$ cắt đường thẳng $AB$. Đường thẳng $\triangle $ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $C$, tiếp xúc với $(O')$ tại $D$ và sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\triangle $ lớn hơn khoảng cách từ $B$ đến $\triangle $. Đường thẳng qua $A$ song song với đường thẳng $\triangle $ cắt đường tròn $(O)$ thêm điểm $E$ và cắt đường tròn $(O')$ thêm điểm $F$. Tia $EC$ cắt tia $FD$ tại $G$. Đường thẳng $EF$ cắt các tia $CB$ và $DB$ tại $H$ và $K$

a) Chứng minh tứ giác $BCGD$ nội tiếp
b) Chứng minh tam giác $GHK$ cân

Bài 4 (2 điểm)

a) Tìm các số nguyên dương lẻ $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: $x<y<z$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}$

b) Chứng minh tồn tại $2013$ số nguyên dương $a_1,a_2,a_3,.....,a_{2013}$ sao cho:
$a_1<a_2<a_3<...<a_{2013}$ và $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+....+\f rac{1}{a_{2013}}=1$

Bài 5 (2 điểm)

a) Chứng minh rằng diện tích của những tứ giác có các đỉnh nằm trong hoặc trên một đường tròn bán kính $R$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng $2R^2$

b) Cho $x$ và $y$ là các số thực dương thay đổi sao cho $x+y=2$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=\frac{x^2+3y^2}{2xy^2-x^2y^3}$

Bài 2. Nhận xét. $$\left ( u+\sqrt{u^{2}+2} \right )\left ( -u+\sqrt{u^{2}+2} \right )=2$$Từ đó với chú ý $u+\sqrt{u^{2}+2}\neq 0$ và giả thiết suy ra $$\sqrt{u^{2}+2}-u=v-1+\sqrt{v^{2}-2v+3}$$ Hoàn toàn tương tự $$\sqrt{v^{2}-2v+3}-v+1=u+\sqrt{u^{2}+2}$$ Công vế theo vế hai đẳng thức trên, có được $$u+v=1\Leftrightarrow u^{3}+v^{3}+uv=1$$
Bài 4. a, Kẹp được $x\leqslant 7$ suy ra $x\in \left \{ 1,3,5,7 \right \}$. Xét từng TH là ra được kết quả.
b, Ta đi chứng minh bằng quy nạp mệnh đề: Với mọi số nguyên dương $n>2$ tồn tại một dãy tăng nghiêm ngặt gồm $n$ số nguyên dương thỏa mãn tổng các nghịch đảo của chúng bằng $1$.
Với $n=3$, ta có $$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$$ Giả sử đúng với mọi số tự nhiên nhỏ hơn $n+1$, khi đó theo giả thiết quy nạp, tồn tại $n$ số nguyên dương $a_{1}<a_{2}<...<a_{n}$ sao cho $$1=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a _{n}}$$. Nếu $a_{n}$ là số nguyên tố thì $$a_{n}|a_{1}.a_{2}...a_{n-1}$$ Suy ra tồn tại $i<n$ thỏa mãn $a_{n}|a_{i}$. Do đó $a_{i}\geqslant a_{n}$, mâu thuẫn.
Vậy $a_{n}$ là hợp số, hay tồn tại hai số nguyên dương $p,q>1$ thỏa mãn $a_{n}=p.q$, khi đó $$\frac{1}{a_{n}}=\frac{p+1}{(p+1)pq}=\frac{1}{(p+ 1)q}+\frac{1}{(p+1)pq}$$ Đặt $$b_{i}=a_{i},i=1,2,..,n-1$$$$b_{n}=(p+1)q,b_{n+1}=(p+1)pq$$ Thì dễ thấy $$b_{1}<b_{2}<...<b_{n}<b_{n+1}$$$$\frac{1}{b_{1}}+\frac{1}{b_{2}}+...+\fr ac{1}{b_{n+1}}=1$$ Theo nguyên lí quy nạp mệnh đề được chứng minh, áp dụng cho $n=2013$ ta có đpcm.
Bài 5. a, Rõ ràng ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp 4 điểm đã cho nằm trên đường tròn.
Giả sử tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$, bấn kính $R$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là điểm chính giữa cung $ABC$, cung $ADC$ của đường tròn $(O)$. Rõ ràng $$S(MAC)\geqslant S(BAC)$$$$S(NAC)\geqslant S(DAC)$$ Suy ra $$S(ABCD)\leqslant S(AMCN)$$ Hoàn toàn tương tự $$S(AMCN)\leqslant S(MENF)$$ với $E,F$ theo thứ tự là điểm chính giữa cung $MCN$, cung $MAN$. Mặt khác tứ giác $MENF$ là hình vuông nội tiếp trong đường tròn $(O;R)$, ta suy ra $$S(ABCD)\leqslant S(MENF)=2R^{2}$$

[JokerNVT]

Bài 1 (2 điểm)

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=x+y+8 & \\ x(x-1)y(y-1)=12 & \end{matrix}\right.$

Bài hệ khá đơn giản
\left\{\begin{matrix} x(x-1)+y(y-1)=8 & \\ x(x-1)y(y-1)=12 & \end{matrix}\right.
Đặt t=x(x-1);u=y(y-1) ta có hệ
\left\{\begin{matrix} t+u=8 & \\ ut=12 & \end{matrix}\right.
Tới đây dễ rồi

[transonlvt]

Bài 5b) mình làm như sau:
T=\frac{x^2+3y^2}{2xy^2-x^2y^3}\ge\frac{2xy+2y^2}{xy^2(2-xy)}=\frac{4y}{xy^2(2-xy)}=\frac{4}{xy(2-xy)}
Ta có: (xy-1)^2\ge 0 suy ra 1\ge xy(2-xy)
Do đó: T\ge 4
Dấu ''=" xảy ra khi x=y=1

[JokerNVT]

Bài 3 (2 điểm)

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho đoạn thẳng $OO'$ cắt đường thẳng $AB$. Đường thẳng $\triangle $ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $C$, tiếp xúc với $(O')$ tại $D$ và sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\triangle $ lớn hơn khoảng cách từ $B$ đến $\triangle $. Đường thẳng qua $A$ song song với đường thẳng $\triangle $ cắt đường tròn $(O)$ thêm điểm $E$ và cắt đường tròn $(O')$ thêm điểm $F$. Tia $EC$ cắt tia $FD$ tại $G$. Đường thẳng $EF$ cắt các tia $CB$ và $DB$ tại $H$ và $K$

a) Chứng minh tứ giác $BCGD$ nội tiếp
b) Chứng minh tam giác $GHK$ cân

Câu a) \widehat{GDB}=\widehat{BAF}=\widehat{ECB}
\Rightarrow tứ giác $BCGD$ nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)

[vmcuong]

[Only registered and activated users can see links]
- Ta chứng minh: GA\perp EF (1) hay GA\perp CD.
Có \widehat{GDC}=\widehat{GFA}=\widehat{ADC} tương tự \widehat{GCD}=\widehat{ACD}. Như vậy \Delta GCD=\Delta ACD\Rightarrow AG\perp CD.
- Dễ thấy M là trung điểm CD theo phương tích. Dùng Talet:
\frac{MC}{HA}=\frac{MB}{AB}=\frac{MD}{AK}\Rightarr ow AH=AK (2).
Từ (1) và (2) suy ra dpcm.:):):)