PDA

View Full Version : Đề kiểm tra học sinh giỏi Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai


DuyLTV
22-09-2012, 12:56 PM
KỲ THI KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12
THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI
NĂM HỌC: 2012 - 2013

Bài 1. Cho $x, y$ là hai số thực dương thỏa mãn $x^3+y^3=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\dfrac{x^2+y^2}{(1-x)(1-y)}$$

Bài 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases}u_1=-1; u_2=-2 \\ nu_{n+2}-(3n+1)u_{n+1}+2(n+1)u_n=3, \forall n \ge 1\end{cases}$.

Đặt $S=\sum_{n=1}^{2012} u_n -2(2^{2012}-1)$. Chứng minh rằng S chia hết cho 2013.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa: $f(x)+f(x^4)=2012, \forall x \in \mathbb{R}$.

Bài 4. Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh $SC$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $AM$ nhưng luôn cắt cạnh $SB, SD$ lần lượt tại $B', D'$. Gọi $V=V_{S.ABCD}$ và $V_1=V_{S.AB'MD'}$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\dfrac{V_1}{V}$.

Bài 5. Giải phương trình trên tập số thực: $$(26-x)\sqrt{5x-1}-(13x+14)\sqrt{5-2x}+12\sqrt{(5x-1)(5-2x)}=18x+32$$

Bài 6. Cho tập $S=\{1,2,...,999\}$. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho mọi tập con $A$ của $S$ gồm $n$ phần tử luôn tồn tại 4 phần tử $a, b, c, d$ thuộc $A$ sao cho: $a+2b+3c=d$.

Hết giờ làm bài thì làm xong tờ Amino axit :angrybird:

nguyentatthu
22-09-2012, 05:04 PM
DuyLTV làm được mấy bài?

DuyLTV
22-09-2012, 05:20 PM
DuyLTV làm được mấy bài?

Em làm được \dfrac{3\sqrt{2}}{2} bài thầy ơi :-*

Bài 1. Quan trọng ở bài này là việc chặn miền giới hạn của (x+y), cụ thể là 1<x+y\leq\sqrt[3]{4}. Việc còn lại là biểu diễn biểu thức P qua biến a=x+y và khảo sát hàm số thu được.

tuan119
22-09-2012, 05:37 PM
Câu HHKG chính là Bài 29: :)

[Only registered and activated users can see links]

hien123
22-09-2012, 05:48 PM
KỲ THI KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12
THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI
NĂM HỌC: 2012 - 2013

Bài 1. Cho $x, y$ là hai số thực dương thỏa mãn $x^3+y^3=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\dfrac{x^2+y^2}{(1-x)(1-y)}$$

Bài 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases}u_1=-1; u_2=-2 \\ nu_{n+2}-(3n+1)u_{n+1}+2(n+1)u_n=3, \forall n \ge 1\end{cases}$.

Đặt $S=\sum_{n=1}^{2012} u_n -2(2^{2012}-1)$. Chứng minh rằng S chia hết cho 2013.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa: $f(x)+f(x^4)=2012, \forall x \in \mathbb{R}$.

Bài 4. Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh $SC$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $AM$ nhưng luôn cắt cạnh $SB, SD$ lần lượt tại $B', D'$. Gọi $V=V_{S.ABCD}$ và $V_1=V_{S.AB'MD'}$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\dfrac{V_1}{V}$.

Bài 5. Giải phương trình trên tập số thực: $$(26-x)\sqrt{5x-1}-(13x+14)\sqrt{5-2x}+12\sqrt{(5x-1)(5-2x)}=18x+32$$

Bài 6. Cho tập $S=\{1,2,...,999\}$. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho mọi tập con $A$ của $S$ gồm $n$ phần tử luôn tồn tại 4 phần tử $a, b, c, d$ thuộc $A$ sao cho: $a+2b+3c=d$.

Hết giờ làm bài thì làm xong tờ Amino axit :angrybird:
$n_{\min}=835$, ta có thể chỉ ra tập con có 834 phần tử vi phạm là $\left \{ 166,167,...,999 \right \}$. Việc chứng minh $n_{\min}=835$ khá dễ dàng bằng phản chứng.

thephuong
22-09-2012, 05:55 PM
$n_{\min}=835$, ta có thể chỉ ra tập con có 834 phần tử vi phạm là $\left \{ 166,167,...,999 \right \}$. Việc chứng minh $n_{\min}=835$ khá dễ dàng bằng phản chứng.

Nhưng mà chỉ ra rằng với tập con nào có 835 phần tử đều thỏa thì mình ko làm được, còn chứng minh là 835 thì khỏi bàn rồi :-<

kainguyen
22-09-2012, 08:01 PM
Bài 1. Cho $x, y$ là hai số thực dương thỏa mãn $x^3+y^3=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$A=\dfrac{x^2+y^2}{(1-x)(1-y)}$$



Đặt: \left\{\begin{matrix}
x+y=S\\
xy=P
\end{matrix}\right.

với S^2 \ge 4P và S>0; P>0.

Từ giả thiết, ta có:

x^3+y^3=1\Leftrightarrow S^3-3SP=1\Leftrightarrow P=\frac{S^3-1}{3S}

Sử dụng S^2 \ge 4P \Leftrightarrow S^2 \ge 4.\frac{S^3-1}{3S} \Leftrightarrow S^3\leq 4 \Leftrightarrow S\leq \sqrt[3]{4}

Do đó, ta có:

A=\dfrac{x^2+y^2}{(1-x)(1-y)}\Rightarrow A=\frac{S^3+2}{(S-1)^3}

Đến đây khảo sát f(S)= \frac{S^3+2}{(S-1)^3} với S\in (0;\sqrt[3]{4}] là được :)

hansongkyung
29-09-2012, 07:27 PM
Nhưng mà chỉ ra rằng với tập con nào có 835 phần tử đều thỏa thì mình ko làm được, còn chứng minh là 835 thì khỏi bàn rồi :-<

Mình có cách cùi cùi thế này:
Đặt $S=\{a_1,...,a_{835}\}$ với $a_i<a_j$ với $i<j$
Đặt $\{a_1,a_1+1,...,999\}$\$S = a$.
Ta có:
$3a_1+2a_2+a_3 \le 3(165-a)+2.196+197=994-3a$
$\Rightarrow$ sẽ có ít nhất $3a+5$ cách chọn sao cho tổng của mấy cái đấy nằm trong khoảng $(a_1,999)$. Mà số các số không thuộc $S$ chỉ là $a$. Vậy ta có đpcm.

kainguyen
05-10-2012, 04:18 PM
Bài 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases}u_1=-1; u_2=-2 \\ nu_{n+2}-(3n+1)u_{n+1}+2(n+1)u_n=3, \forall n \ge 1\end{cases}$.

Đặt $S=\sum_{n=1}^{2012} u_n -2(2^{2012}-1)$. Chứng minh rằng S chia hết cho 2013.



Ta có:

nu_{n+2}-(3n+1)u_{n+1}+2(n+1)u_n=3

\Leftrightarrow n[u_{n+2}-2u_{n+1}-(n+1)+3]=(n+1)(u_{n+1}-2u_n-n+3)

\Rightarrow u_{n+2}-2u_{n+1}-(n+1)+3=\frac{n+1}{n}.(u_{n+1}-2u_n-n+3)=...=(n+1)(u_2-2u_1-1+3)=2(n+1)

\Rightarrow u_{n+2}-2u_{n+1}=3n

\Leftrightarrow u_{n+2}+3(n+2)=2[u_{n+1}+3(n+1)]=...=2^n(u_2+6)=2^{n+2}

\Leftrightarrow u_{n+2}+3(n+2)=2^{n+2}

Suy ra: u_n=2^n-3n với mọi n \ge 1.

Ta có:

S=\sum_{n=1}^{2012} u_n -2(2^{2012}-1)

\Leftrightarrow S=\sum_{n=1}^{2012}(2^n-3n)-2(2^{2012}-1)

\Leftrightarrow S=\sum_{n=1}^{2012}2^n-3.\sum_{n=1}^{2012}n-2(2^{2012}-1)

\Leftrightarrow S=(2^{2013}-2)-3.1006.2013-2(2^{2012}-1)

\Leftrightarrow S=(-3.1006.2013)\vdots 2013 với mọi n \ge 1 (đpcm).