Nhóm $GL(n,\mathbb{R})$

[elfking]

Chứng minh rằng $exp$ là ánh xạ từ $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})$ lên $GL(n,\mathbb{C})$, trong khi không phải là ánh xạ từ $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$ lên $GL(n,\mathbb{R})$. Phần đầu thì khá cơ bản, nhưng tìm phản thí dụ của phần thứ hai khó quá.

[99]

Em nên viết rõ hơn khi dùng tiếng Việt nhé. Trong tiếng Việt, cái từ "lên" nhiều người cũng chả biết là "toàn ánh" đâu.

Cái sau của em thì rất là dễ. Nhóm $GL(n,\mathbb{R})$ là nhóm có hai thành phần liên thông. Còn $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$ là không gian vector nên đương nhiên liên thông.

Còn cái đầu thì có một kết quả là : mọi ma trận phức khả nghịch thì có logarithm, chắc là trong cuốn của Bhatia. Không rõ khi em nói phần đầu là cơ bản nghĩa là có cách khác chỉ cần khai thác ánh xạ mũ? Ánh xạ mũ là vi phôi địa phương tại $0$ nhưng tiếc là nó không phải là đồng cấu nhóm, nên không suy ra được ngay tính toàn ánh :[

[elfking]

Em có biết chữ đấy tiếng Việt là gì đâu, em tra từ điển trên mạng đấy :P

Công nhận là em quên béng mất là $GL(n,\mathbb{R})$ bị đứt ngay chỗ determinant bằng 0. Mà đề bài nguyên mẫu cho là chứng minh cho $GL(2,\mathbb{R})$ nên em mới nghĩ là phải tìm phản thí dụ, không ngờ là nó đúng với mọi n.

Em nghĩ với $GL(n,\mathbb{C})$ thì đầu tiên đưa về dạng chuẩn Jordan rồi sau đấy sẽ rất dễ tìm được ma trận trên $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})$ để khi dùng ánh xạ mũ ra đúng ma trận mình cần. Đấy là em nghĩ thế chứ chưa tính ra thật.

[99]

ừa, em nghĩ đúng rồi. Nếu không tìm được công thức thì đọc cuốn của Higham ý, có công thức đầy đủ :))

[elfking]

Cuốn đấy tên là gì hả anh? Em google không ra.

[99]

Higham, Functions of Matrices. Không tìm được thì anh gửi mail cho :D

[elfking]

Em tìm được một cái có 23 trang, có phải cái này không ạ?

[99]

Đây em [Only registered and activated users can see links]