PDA

View Full Version : Tính tích phân


Novalee
21-04-2008, 07:47 PM
Tính tích phân
\int_{0}^{2\pi}\frac{dx}{2+\cos x}

conga1qt
21-04-2008, 10:14 PM
Dễ dàng CM được :
\int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{cosx+2}= 2\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{cosx+2} = 2( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{cosx+2}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{dx}{cosx+2})


Tính : \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{cosx+2}

Đặt t=tan{\frac{x}{2}} dễ thấy 0 \leq t \leq 1

dt= \frac{1}{2cos^2{\frac{x}{2}}}dx= \frac{1}{2}(1+tan^2{\frac{x}{2}})dx => dx = 2(1+t^2)dt

cosx+2 = \frac{1-t^2}{1+t^2}+2= \frac{3+t^2}{1+t^2} => \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{cosx+2} = 2\int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2+3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \int_{0}^{1} arctan{\frac{t}{\sqrt{3}}} |_0^{1} ...........

Tương tự cho cái thứ 2 bằng cách đặt u= cot{\frac{x}{2}} dễ thấy 0 \leq u \leq 1 và du= -\frac{1}{2}(1+u^2}dx

cosx+2 = \frac{3u^2+1}{u^2+1} =>

\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{dx}{cosx+2}) = 2\int_{1}^{0} \frac{-du}{3u^2+1} = 2\int_{0}^{1} \frac{du}{3u^2+1} làm tương tự => done!!