PDA

View Full Version : hệ PT


asimothat
21-11-2007, 05:57 PM
tìm nghiệm dương của hệ gồm 2 pt sau
a+b+c=1 (1) và
a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc =\frac{1}{4} (2)

Talent
21-11-2007, 06:22 PM
Bài này áp dụng BĐT Shur là có thể được .Đẳng thức khi
a=b=c=\frac{1}{3}

jac
21-11-2007, 07:11 PM
Bài này áp dụng BĐT Shur là có thể được .Đẳng thức khi
a=b=c=\frac{1}{3}

Anh ơi em không hiểu, anh giải chi tiết ra cho em với.

Talent
21-11-2007, 07:20 PM
Có thể dùng đồng bậc 3 sau đó kiểm tra
f(1,1,1),f(1,0,1),f(1,0,0)

sam
21-11-2007, 07:21 PM
f là cái gì thế ạ? Các Mod đâu? Sao để cậu này post spam thế ạ? :(

psquang_pbc
21-11-2007, 07:29 PM
Hic, Talent một lần nữa mình sẽ del bài bạn đó.

Lời giải cho jac đây:

Ta chứng minh bất đẳng thức a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc\ge \frac{1}{4} (*) với a,b,c dương và a+b+c=1

Bổ đề : ( Bất đẳng thức Schur )

Cho a,b,c là 3 số thực dương, chứng minh rằng khi đó ta có :

a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+b^2c+c^2+a^2c+c^2b+b^2a (1)

Chứng minh bổ đề : Bất đẳng thức này khá quen thuộc có nhiều cách chứng minh cho nó , sau đây là 1 chứng minh ngắn gọn

Giả sử a\ge b\ge c, khi đó đặt a=c+x,b=c+y với x,y\ge 0

(1) viết lại thành :

c(x^2++xy+y^2)+x^2(x+2y)\ge 0 hiển nhiên đúng.

Dấu bằng khi x=y=0 hay a=b=c, bổ đề chứng minh xong.

Trở lại bài toán

Thế \frac{1}{4}=\frac{1}{4}(a+b+c)^3 ta đưa (*) về dạng

a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+b^2c+c^2+a^2c+c^2b+b^2

Theo (1) thì ta phải có a=b=c=\frac{1}{3}

Ps :Về Shur bạn nên đọc thêm trong báo toán học và tuổi trẻ ( có 1 bài của thầy Đáng thì phải ) , Sáng tạo bất đẳng thức -Anh Phạm Kim Hùng

psquang_pbc
21-11-2007, 07:41 PM
Xì bam thêm 1 tí là cái f(1,1,1) và f(1,0,0) rồi f(0,0,0),f(1,1,0) ở đây f(a,b,c) là 1 hàm số hoàn toàn đối xứng với 3 biến a,b,c là nội dung định lí PID, cái mà anh Hùng hình như là đã tổng quát lên thành n biến trong sách của anh ấy SID-CID gì đóa :D ( bản tiếng Anh ). Chứng minh TH n=3 xem trên VMF bạn nhé, cái topic mà có chữ định lí PID thì phải

dong1919
21-11-2007, 08:04 PM
Bài này 3 biến 2 pt đương nhiên là dùng BDT rồi :D nhưng ta cũng có thể cm như sau
a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+3abc
=> 1-3(ab+bc+ca)+\frac{27}{4}abc=\frac{1}{4}
=> VT=f(bc)=1-3(1-a)+bc(\frac{27}{4}a-3)
SD t/chất hàm bậc nhất để c/m VT \ge VP thôi

Talent
21-11-2007, 08:04 PM
Bạn psquangpbc có quyển đó không?
Định lí này có thể tham khảo trong quyển của Hojoo Lee.

psquang_pbc
21-11-2007, 09:48 PM
Bài này 3 biến 2 pt đương nhiên là dùng BDT rồi :D nhưng ta cũng có thể cm như sau
a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+3abc
=> 1-3(ab+bc+ca)+\frac{27}{4}abc=\frac{1}{4}
=> VT=f(bc)=1-3(1-a)+bc(\frac{27}{4}a-3)
SD t/chất hàm bậc nhất để c/m VT \ge VP thôi

Chú Đông có nhớ cái bản anh Hưng cho ta trong năm lớp 10 kô, về pp hàm bậc nhất í, thế mà mình cứ thấy chienthan nói là do chú ấy vít, nói mãi kô cóa ai đồng minh cả nhỉ :(

Ps, Talent kô cóa quyển đóa đâu, chỉ cóa nghe noái thoai

jerry
21-11-2007, 09:51 PM
Cuốn đó Lee viết lâu rồi, sau này ra version mới không hiểu tại sao cậu ấy không cho nó vào nữa.

n.t.tuan
21-11-2007, 10:03 PM
Xì bam thêm 1 tí là cái f(1,1,1) và f(1,0,0) rồi f(0,0,0),f(1,1,0) ở đây f(a,b,c) là 1 hàm số hoàn toàn đối xứng với 3 biến a,b,c là nội dung định lí PID, cái mà anh Hùng hình như là đã tổng quát lên thành n biến trong sách của anh ấy SID-CID gì đóa :D ( bản tiếng Anh ). Chứng minh TH n=3 xem trên VMF bạn nhé, cái topic mà có chữ định lí PID thì phải

Nó đây chứ đâu? :D

dong1919
21-11-2007, 11:31 PM
Chú Đông có nhớ cái bản anh Hưng cho ta trong năm lớp 10 kô, về pp hàm bậc nhất í, thế mà mình cứ thấy chienthan nói là do chú ấy vít, nói mãi kô cóa ai đồng minh cả nhỉ :(

Ps, Talent kô cóa quyển đóa đâu, chỉ cóa nghe noái thoai
Ack cái đó
là của Phạm Văn Thuận và bác nào đó viết lâu lắm rồi :)
Trên VMF box Olympiad mục Chuyên đề có đó

asimothat
22-11-2007, 02:54 PM
hjhj ,theo em biết thì lời giải bài này là chứng minh bdt ,và dùng cô si ,cũng ngắn gọn phết (lại spam nữa rồi :)) )