PDA

View Full Version : Đề chọn đội tuyển trường THPT số 1, Bình Định ( Lần 2)


ikariam123
14-08-2013, 11:04 AM
Ngày 1
Bài 1: Cho số thực dương $a$, xét dãy $(u_{n})$ thỏa: $au_{1} = 1$,$ u_{n}+u_{n}u_{n-1} = 1$.
a) Tính $u_{n}$ theo $a$ và $n$
b) Tìm giới hạn của $(u_{n})$.

Bài 2: Tìm các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(1)=1$, $f(x)f(2y)+f(2x) +f(y)=f(2xy)+f(x)+f(x+y)$ với mọi số thực $x,y$

Bài 3: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}+\sqrt{2y}+\sqrt{3z}=\sqrt{1+\sqrt{8xy} + \sqrt{12xz}+\sqrt{24yz}}\\ x^{2} + 4y^{2} + 3z = 2x +4y-16xy\\ x^{3}+8y^{3}=2xy

\end{matrix}\right.
$

Bài 4: Cho tam giác $ABC$, gọi $(O_{1}), (O_{2})$ là các đường tròn có tâm lần lượt thay đổi trên cạnh $AB, AC$ của tam giác.
Giả sử 2 đường tròn này cắt nhau tại 1 điểm $D$ thuộc $BC$.$ E, F$ lần lượt nằm trên $(O_{1}), (O_{2})$ sao cho $DE,DF$ vuông góc $AB,AC$.
a) Chứng minh trung điểm $EF$ di động trên 1 đường thẳng cố định.
b) $(O_{1})$ cắt $(O_{2})$ tại điểm thứ hai $M$ . Chứng minh tâm $(MEF)$ thuộc 1 đường thẳng cố định.

Bài 5:Trong 1 trò chơi có $2013$ bạn tham gia, BTC đưa cho mỗi bạn 1 số viên sỏi sao cho mỗi bạn đều nhận được ít nhất $1$ viên sỏi. Sau đó, BTC lần lượt hỏi $2$ bạn bất kỳ và ghi nhận số sỏi chênh lệch giữa $2$ bạn đó cho đến khi mỗi bạn đều được hỏi đúng $2012$ lần với 2012 bạn còn lại. Cuối cùng, BTC tính tổng số sỏi chênh lệch của các lần hỏi, gọi $k$ là tổng số sỏi chênh lệch đó. Xác định số viên sỏi ít nhất đã được phát ra nếu:
a) $k=6039$.
b) $k=6036$

let_wind_go
14-08-2013, 12:58 PM
Bài 1 dãy đã xác định đâu nhỉ :-? Phải có $u_2$ nữa chứ nhỉ

ikariam123
14-08-2013, 02:43 PM
Bài 1 dãy đã xác định đâu nhỉ :-? Phải có $u_2$ nữa chứ nhỉ

đã chỉnh lại. Tks bạn

let_wind_go
14-08-2013, 05:28 PM
Xét dãy số Fibonacci $F_n$.
dùng quy nạp ta cm đc rằng $u_n=\frac{F_{n-1}a+F_{n-2}}{F_na+F_{n-1}}$
Chú ý $\lim_{n \to +\infty } \frac {F_n}{F_{n-1}}=\frac{1+\sqrt5}{2}$
và $\lim_{n \to +\infty } \frac {F_n}{F_{n-2}}=\frac{3+\sqrt 5}{2}$
nên $\lim_{n \to +\infty} u_n=\frac{\frac{1+\sqrt 5}{2}a+1}{\frac{3+\sqrt5}{2}a+\frac{1+\sqrt5}{2}}$


Bài 3 pt2 là $3z$ hay $9z^2$ nhỉ. nếu để như thế thì pt vô nghiệm còn sửa lại sẽ ra nghiệm đẹp :D

quocbaoct10
14-08-2013, 06:09 PM
Câu 5 a đề có chuẩn không đó bạn ?
mình làm câu 5 b thế này:
gọi $a_1, a_2, ..., a_{2013}$ lần lượt là số sỏi của các bạn thứ 1, thứ 2,..., thứ 2013. dễ thấy sẽ có một số bạn có sỏi bằng nhau vì $k=6036 <C_{2013}^{2}$.Số bạn có số sỏi bằng nhau ít nhất là $2010$. Nếu có không nhiều hơn 2009 bạn có số lượng sỏi bằng nhau thì gọi a là số bạn có số sỏi bằng nhau thì $k>a.(2013-a)+(2013-a-1)+(2013-a-2)+...+1>6036 $(vô lí). Lần lượt xét các trường hợp: có 2012 bạn có số sỏi giống nhau,2011 bạn có số sỏi giống nhau, 2010 bạn có số sỏi giống nhau thì thấy TH: có 2012 bạn có a viên sỏi giống nhau và bạn còn lại có $b=a+3$ viên sỏi thỏa yêu cầu đề vì $k=2012(b-a)=6036$. Vì $a \ge 1$ nên lấy $a=1$ và $b=4$ được số sỏi ít nhất là 2016.

ikariam123
14-08-2013, 06:28 PM
Bài 3 đúng là vô nghiệm, có thể đổi biến rồi dùng bdt để chứng minh nó vô nghiệm(có thể đây là dụng ý của ngừơi ra đề)
bài 5a đề đúng bạn ạ. Có thể c/m không tồn tại số sỏi nào để đạt được k =6039

ikariam123
17-08-2013, 10:33 AM
Ngày 2

Bài 1: Tìm hằng số $k$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương $a,b,c$:
$(a^{3}+k)^{3}+(b^{3}+k)^{3}+(c^{3}+k)^{3}\geq 3(abc+k)^{3}$

Bài 2: Cho số nguyên dương $n$. Xét tập $A=${$1;2;3;...;n$} và $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...a_n$ thỏa mãn $m\leq a_i\leq M$ với mọi $i\in A$, trong đó $m,M$ là các hằng số (1)
a) Cho $m=1$, tìm $M$ để với $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...a_n$ thỏa (1) thì luôn tồn tại các số nguyên phân biệt $x,y,z \in A$ để $a_x, a_y, a_z$ lập thành 3 cạnh 1 tam giác.
b) Cho $m=2013$, tìm $M$ để với $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...a_n$ thỏa (1) đề với mọi số nguyên phân biệt $x,y,z \in A$ thì $a_x, a_y, a_z$ lập thành 3 cạnh 1 tam giác.

Bài 3: Cho $BC$ là dây cung cố định của đường tròn $(O)$. $A$ là điểm di động trên cung $BC$ lớn. $BE, CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$.
a) Chứng minh đường cao từ $E$ của tam giác $AEF$ đi qua 1 điểm cố định $P$, đường cao từ $F$ của tam giác $AEF$ đi qua 1 điểm cố định $Q$.
b) Chứng minh tỷ số $\frac{EP+EQ+FP+FQ}{EB+EC+FB+FC}$ không đổi.

Bài 4: Cho hình vuông $n\times n$ được chia làm các hình vuông đơn vị $1\times 1$. Từ các hình vuông đơn vị này, có thể lập được:
a) Bao nhiêu hình vuông nhỏ $m\times m$ với $m\leq n$ ? Tính tổng diện tích của chúng.
b) Bao nhiệu hình chữ nhật có diện tích $S=1320$ khi $n=2013$?

Bài 5: Cho 3 số nguyên dương $x,y,z$ thỏa: $x^{2}+y^{2}=z^{2}$
a) Chứng minh 3 số $x,y,z$ không thể cùng là số nguyên tố hay số chính phương.
b) Giả sử $z$ là số chính phương và $(x;y)=1$. Gọi $d$ là số ước số nguyên dương của $P=xyz$. Chứng minh $d\geq 24$

quocbaoct10
17-08-2013, 05:56 PM
Ngày 2

Bài 1: Tìm hằng số $k$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương $a,b,c$:
$(a^{3}+k)^{3}+(b^{3}+k)^{3}+(c^{3}+k)^{3}\geq 3(abc+k)^{3}$


theo bđt AM-Gm, ta có
$(a^{3}+k)^{3}+(b^{3}+k)^{3}+(c^{3}+k)^{3} \ge 3(a^{3}+k)(b^{3}+k)(c^{3}+k)$. Tiếp tục áp dụng bđt Holder, ta có:
$(a^{3}+k)(b^{3}+k)(c^{3}+k) \ge (abc+k)^3$ vậy nên $(a^{3}+k)^{3}+(b^{3}+k)^{3}+(c^{3}+k)^{3}\ge 3(abc+k)^{3}$, dấu $"="$ xảy ra khi $k>0$ và $a=b=c$. Vậy nên với mọi $k>0$ thì bđt luôn đúng với mọi số thực dương $a,b,c$.
Bài 2 a):
với $M=2$, từ các số {1,2} ta không thể tìm được 1 bộ 3 số $x,y,z$ phân biệt để thỏa ycđb bài vì $1+1=2$ (điều này không thỏa bđt tam giác) nên $M \ge 3$. Ta sẽ chứng minh với mọi $M \ge 3$ có các TH mà không thể chọn ra 3 số thỏa ycđb. Vì $M \ge 3$ nên luôn chọn được 3 số $a,b,c \le M$ mà $a+b \le c$, Khi đó, chọn các giá trị cho các số $a_i$={a,b,c} thì $a_i$ luôn không tồn tại 3 số phân biệt thỏa ycđb nên chỉ tồn tại $M=1$ thỏa ycđb.
b). Ta sẽ chứng minh với mọi số $M \ge 4026$ thì luôn tồn tại 3 số $x,y,z$ sao cho $a_x+a_y \le a_z$. Ta chọn các giá trị của $a_i$ sao cho $a_i$={2013,4026}, khi đấy sẽ tồn tại $a_x=2013, a_y=2013, a_z=4026$ nên không thể lập thành 1 bộ 3 số là cạnh của tam giác. nếu $2013 \le M \le 4025$ thì khi đấy luôn tồn tại 2 số $a_x+a_y \ge 4026 >4025$ nên với 3 số $x,y,z$ phân biệt luôn có 3 số $a_x,a_y,a_z$ thỏa ycđb.
Bài 5.
a)dễ thấy nếu $x,y$ là 2 số nguyên tố thì $z$ chẵn nên 3 số $x,y,z$ không thể là số nguyên tố. Giả sử tồn tại 3 số $x,y,z$ sao cho chúng là số chính phương thì đặt $x=a^2,, y=b^2, z=c^2$ thì pt chuyển thành $a^4+b^4=c^4$. Chứng minh cái này vô nghiệm cũng quen thuộc rồi.
đề của trường cũng hay nhỉ, mấy trường làng ở tỉnh mình còn không có 1 câu tổ hợp hay số học, toàn đại số với giải tích với hình học

tikita
17-08-2013, 08:19 PM
Bài 2 a):
với $M=2$, từ các số {1,2} ta không thể tìm được 1 bộ 3 số $x,y,z$ phân biệt để thỏa ycđb bài vì $1+1=2$ (điều này không thỏa bđt tam giác) nên $M \ge 3$. Ta sẽ chứng minh với mọi $M \ge 3$ có các TH mà không thể chọn ra 3 số thỏa ycđb. Vì $M \ge 3$ nên luôn chọn được 3 số $a,b,c \le M$ mà $a+b \le c$, Khi đó, chọn các giá trị cho các số $a_i$={a,b,c} thì $a_i$ luôn không tồn tại 3 số phân biệt thỏa ycđb nên chỉ tồn tại $M=1$ thỏa ycđb.
b). Ta sẽ chứng minh với mọi số $M \ge 4026$ thì luôn tồn tại 3 số $x,y,z$ sao cho $a_x+a_y \le a_z$. Ta chọn các giá trị của $a_i$ sao cho $a_i$={2013,4026}, khi đấy sẽ tồn tại $a_x=2013, a_y=2013, a_z=4026$ nên không thể lập thành 1 bộ 3 số là cạnh của tam giác. nếu $2013 \le M \le 4025$ thì khi đấy luôn tồn tại 2 số $a_x+a_y \ge 4026 >4025$ nên với 3 số $x,y,z$ phân biệt luôn có 3 số $a_x,a_y,a_z$ thỏa ycđb.


Kết quả của bạn sai rồi.
Câu a. Giá trị của $M=F_n-1$ với $F_n$ là dãy số thỏa mãn: $F_1=F_2=m=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ với mọi $n>1$.
Câu b. Tương tự.

ikariam123
17-08-2013, 08:21 PM
Bài 1 ngày 2 mình nghĩ bạn giải chưa hoàn chỉnh, bạn chỉ mới c/m bdt đúng với k>0 chứ chưa c/m được đó là tất cả gt k đạt được ( rõ ràng k=0 vẫn thoả mãn)
------------------------------
Kết quả của bạn sai rồi.
Câu a. Giá trị của $M=F_n-1$ với $F_n$ là dãy số thỏa mãn: $F_1=F_2=m=1,F_{n 2}=F_{n 1} F_n$ với mọi $n>1$.
Câu b. Tương tự.

câu a, gt M đó là GTLN của M thôi bạn ạ.
Câu b không hề tương tự đâu bạn ạ (" tồn tại"# " với mọi")

quocbaoct10
17-08-2013, 08:50 PM
Kết quả của bạn sai rồi.
Câu a. Giá trị của $M=F_n-1$ với $F_n$ là dãy số thỏa mãn: $F_1=F_2=m=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ với mọi $n>1$.
Câu b. Tương tự.

bạn chứng minh hộ mình với

thaygiaocht
29-08-2013, 11:16 PM
Ngày 1
Bài 1: Cho số thực dương $a$, xét dãy $(u_{n})$ thỏa: $au_{1} = 1$,$ u_{n}+u_{n}u_{n-1} = 1$.
a) Tính $u_{n}$ theo $a$ và $n$
b) Tìm giới hạn của $(u_{n})$.

Bài 2: Tìm các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(1)=1$, $f(x)f(2y)+f(2x) +f(y)=f(2xy)+f(x)+f(x+y)$ với mọi số thực $x,y$

Bài 3: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}+\sqrt{2y}+\sqrt{3z}=\sqrt{1+\sqrt{8xy} + \sqrt{12xz}+\sqrt{24yz}}\\ x^{2} + 4y^{2} + 3z = 2x +4y-16xy\\ x^{3}+8y^{3}=2xy

\end{matrix}\right.
$

Bài 4: Cho tam giác $ABC$, gọi $(O_{1}), (O_{2})$ là các đường tròn có tâm lần lượt thay đổi trên cạnh $AB, AC$ của tam giác.
Giả sử 2 đường tròn này cắt nhau tại 1 điểm $D$ thuộc $BC$.$ E, F$ lần lượt nằm trên $(O_{1}), (O_{2})$ sao cho $DE,DF$ vuông góc $AB,AC$.
a) Chứng minh trung điểm $EF$ di động trên 1 đường thẳng cố định.
b) $(O_{1})$ cắt $(O_{2})$ tại điểm thứ hai $M$ . Chứng minh tâm $(MEF)$ thuộc 1 đường thẳng cố định.

Bài 5:Trong 1 trò chơi có $2013$ bạn tham gia, BTC đưa cho mỗi bạn 1 số viên sỏi sao cho mỗi bạn đều nhận được ít nhất $1$ viên sỏi. Sau đó, BTC lần lượt hỏi $2$ bạn bất kỳ và ghi nhận số sỏi chênh lệch giữa $2$ bạn đó cho đến khi mỗi bạn đều được hỏi đúng $2012$ lần với 2012 bạn còn lại. Cuối cùng, BTC tính tổng số sỏi chênh lệch của các lần hỏi, gọi $k$ là tổng số sỏi chênh lệch đó. Xác định số viên sỏi ít nhất đã được phát ra nếu:
a) $k=6039$.
b) $k=6036$

Đề căng thật! Xem ra đội BĐ năm nay mạnh.
Bài hình:
[Only registered and activated users can see links]
a) Ký hiệu các điểm như hình vẽ. Lấy L' thuộc B'C' sao cho JL'//BB'. Khi đó theo Định lý Ta-lét KL'//CC'. Hệ quả là L'=L hay trung điểm của EF thuộc B'C' cố định.
b) Câu này có vẻ không đúng (hình vẽ).

ikariam123
30-08-2013, 07:31 PM
Đề căng thật! Xem ra đội BĐ năm nay mạnh.
Bài hình:
[Only registered and activated users can see links]
a) Ký hiệu các điểm như hình vẽ. Lấy L' thuộc B'C' sao cho JL'//BB'. Khi đó theo Định lý Ta-lét KL'//CC'. Hệ quả là L'=L hay trung điểm của EF thuộc B'C' cố định.
b) Câu này có vẻ không đúng (hình vẽ).

Thành thật xin lỗi thầy và các chiến hữu. Mắt nhắm mắt mở đánh thiếu đề. Mình xin bổ sung như sau: $B,C$ lần lượt thuộc $(O_1),(O_2)$

thaygiaocht
13-09-2013, 12:19 AM
Thành thật xin lỗi thầy và các chiến hữu. Mắt nhắm mắt mở đánh thiếu đề. Mình xin bổ sung như sau: $B,C$ lần lượt thuộc $(O_1),(O_2)$

Như thế thì bài này khó. Có thế lấy thêm $K, L$ là giao điểm của đường thẳng chứa đường kính qua $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ với $B'C'$ và $(MEF)$ (như hình vẽ) rồi chứng minh $AK.AL= const$ để chỉa ra tâm của $(MEF)$ di động trên đường trung trực của $AL$ cố định.
[Only registered and activated users can see links]

ThangToan
13-09-2013, 10:06 AM
Ngày 1
Bài 2: Tìm các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(1)=1$, $f(x)f(2y)+f(2x) +f(y)=f(2xy)+f(x)+f(x+y)$ với mọi số thực $x,y$


Thay x=y=0 ta được: f^2(0)=f(0) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = 0,f\left( 0 \right) = 1. Ta xét hai trường hợp:
TH1. f(0)=1.
Thay y=0 vào phương trình ta được: f(x)+f(2x)+1=1+f(x)+f(x) hay f(2x)=f(x) (1).
Từ (1) và phương trình ban đầu ta được:
f(x)f(y)+f(x)+f(y)=f(xy)+f(x)+f(x+y) suy ra f(x)f(y)+f(y)=f(xy)+f(x+y) (2).
Thay y=1 vào (2) ta được: f(x)+1=f(x)+f(x+1) suy ra f(x+1)=1 hay f(x)=1 với mọi số thực x. Thử lại thấy thỏa mãn.
TH2. f(0)=0.
Thay y=0 vào phương trình ta được:
f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x) (3).
Từ (3) và phương trình ban đầu ta được:
2f(x)f(y)+f(x)+f(y)=2f(xy)+f(x+y) (4).
Trong (4) ta thay y=1 ta được: f(x+1)=f(x)+1 (5)
Trong (4) thay x=y ta được:
f^2(x)=f(x^2) (6).
Bằng quy nạp ta chỉ ra f(n)=n, n là số tự nhiên. Do đó
trong (4) thay x=m/n, y=n, m,n>0 ta được:
f\[\left( {\frac{m}{n}} \right) = \frac{m}{n}\]