PDA

View Full Version : Tiểu trường xuân toán học miền Nam 2016 - Đề kiểm tra số 1


namdung
24-02-2016, 09:32 AM
Tiểu trường Xuân toán học miền Nam 2016

Vietnam TST 2016 MOCK Test 1
Ngày thi: 24/2/2016
Thời gian làm bài: 240 phút

Bài 1.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

$$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+ c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$

Bài 2.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong (O), ngoại tiếp (I). Gọi (J) là đường tròn Euler và H là trực tâm tam giác. Đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D, E. Điểm T di động trên (J) và đường thẳng qua T vuông góc với HT cắt (O) ở M, N. Dựng hình bình hành MHNK.
a) Chứng minh rằng K luôn di chuyển trên một đường cố định khi T thay đổi.
b) Đường tròn (S) tiếp xúc ngoài với (J) và tiếp xúc với AB, AC tại X, Y. Gọi Z là trực tâm của tam giác ADE. Chứng minh rằng tứ giác AXZY là hình thoi.
Bài 3.
Một cấp số cộng các số nguyên dương gồm ít nhất 3 số hạng được gọi là chuẩn nếu tích các số hạng của nó là ước số của một số có dạng $ n^2 + 1 $.
a) Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộng chuẩn với công sai 12.
b) Chứng minh rằng không tồn tại cấp số cộng chuẩn với công sai 10 và 11.
c) Cấp số cộng chuẩn với công sai bằng 12 có thể có nhiều nhất bao nhiêu số hạng?

trungnghia215
25-02-2016, 06:04 AM
Bài 3.
a) Chọn CSC $5, 17, 29, \cdots$.
Khi đó $\left(\frac{-1}{5}\right) = \left(\frac{-1}{17}\right) = \left(\frac{-1}{29}\right) = 1$. Nghĩa là tồn tại $a, b, c$ sao cho với $x \equiv a \pmod{5}$ thì $x^{2} + 1 \vdots 5$ (tương tự cho $17, 29$). Ta có hệ đồng dư:
$$\begin{cases} n\equiv a\pmod{5} \\ n\equiv b\pmod{17} \\ n\equiv c\pmod{29}\end{cases}$$
Do $(5; 17) = (17;29) = (29; 5) = 1$ nên theo định lý thặng dư Trung Hoa tồn tại $n$ để $n^{2} + 1 \vdots 5\times 17\times 29$
b) Gọi 3 số hạng luôn có mặt của dãy là $a, b, c$
Bổ đề 1. Mọi số nguyên dạng $4k + 3$ luôn có ước nguyên tố dạng $4n + 3$.
Bổ đề 2. Khồng tồn tại $p\in \mathbb{P}$ dạng $4k + 3$ sao cho $p\mid n^{2} + 1$ với $n$ tự nhiên nào đó.

TH1. $d = 10$. Giả sử tồn tại thoả có bộ chuẩn với $d = 10$. Nếu $a \equiv 0\pmod{2}$ thì $b, c$ cũng vậy. Do đó $4\mid abc$. Mặt khác, $n^{2} + 1 \equiv 1 \text{hoặc} 2\pmod{4}$. Do đó $abc\nmid n^{2} + 1$.
Nếu $a$ lẻ thì toàn bộ số hạng đều lẻ. Nếu $a \equiv 1\pmod{4}$ thì $b\equiv 3\pmod{4}$. Theo bổ đề 1 tồn tại số nguyên tố dạng $4k + 3$. Do đó $(4k + 2)\mid n^{2} + 1$, vô lí. Nếu $a\equiv 3\pmod{4}$ thì tương tự cũng có điều vô lí.
TH2. $d = 11$. Cũng giả sử ngược lại. Nếu $a \equiv 0\pmod{4}$ thì $4\mid abc$ và ta cũng có điều vô lí. Nếu $a \equiv 2\pmod{4}$ thì $c\equiv 0\pmod{4}$, dẫn đến $4\mid 8\mid abc$, vô lí. Nếu $a \equiv 3\pmod{4}$ thì cũng vô lí. Nếu $a\equiv 1\pmod{4}$ thì $c \equiv 3\pmod{4}$ cũng dẫn đến điều vô lí.
Tóm lại không có bộ chuẩn công sai $10$ hay $11$ (nói chung là không có bộ chuẩn công sai dạng $4k + 2$ hay $4k + 3$).

tikita
25-02-2016, 09:29 PM
Tiểu trường Xuân toán học miền Nam 2016

Vietnam TST 2016 MOCK Test 1
Ngày thi: 24/2/2016
Thời gian làm bài: 240 phút

Bài 1.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

$$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+ c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$


Ta có $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2) ^2$, nên ta cần chứng minh bất đẳng thức
$$\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)\leq \dfrac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)+(a+b+c)\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$
Hay
$$1\leq\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a+b+c}{\sqrt{3(a^2+b^2+c ^2)}}$$
Ta có đẳng thức sau
$$(a+b+c)^2=3[1-\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}](a^2+b^2+c^2)$$
Do đó
$$\dfrac{a+b+c}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}=\sqrt{1-\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}}$$
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức
$$1\leq\dfrac{t}{2\sqrt{3}}+\sqrt{1-\dfrac{t}{3}}.$$
Với $t=\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a^2+b^2+c^2)}$ và $0\leq t\leq 2$. Mà bất đẳng thức này đúng hiển nhiên. Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

thaygiaocht
25-02-2016, 11:05 PM
Bài 1.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

$$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+ c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$



Ta có thể làm triệt để phần chặt hơn của cấu hình này
Chứng minh $k=k_0=3\sqrt{3}-4$ là hằng số nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c>0:$
$$3k(ab+bc+ca)+3 \sqrt{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)} \le (k+1)(a+b+c)^2.$$

Khi $k=\sqrt{3}>k_0$ ta có hệ quả
$$\dfrac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b +c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \dfrac{a+b+c}{3}.$$

tikita
27-02-2016, 04:06 PM
Vietnam TST 2016 MOCK Test 2
Ngày thi:26/02/2016
Thời gian làm bài: 240 phút

Bài 4.

Cho bảng hình chữ nhật $m \times n$ ô với $m,n$ là các số nguyên dương cho trước. Trên mỗi ô của bảng ta viết $1$ trong các số $0,1,2$ sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột chia hết cho $3$. Hỏi có thể có nhiều nhất bao nhiêu số $1$?
Cho hình hộp chữ nhật $2015 \times 2016 \times 2017$ được tạo thành từ các hình lập phương đơn vị. Trong mỗi hình lập phương đơn vị, ta viết một trong các số $0,1,2$ sao cho tổng các số trong mỗi dài $1 \times 1 \times 1 \times 2017, 1 \times 2016 \times 1$ và $2015 \times 1 \times 1$ chia hết cho $3$. Hỏi có thể có nhiều nhất bao nhiêu số $1$?


Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $R$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$ bán kính $r$ và có các đường trung tuyến là $AA_1,BB_1,CC_1$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $S$ và giả sử $AS$ cắt $BC$ tại $A_2$. Các điểm $B_2,C_2$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $$\frac{AA_2}{AA_1}+ \frac{BB_2}{BB_1}+ \frac{CC_2}{CC_1} \ge 1+ \frac{4r}{R}.$$

Bài 6. Cho số nguyên dương $n$. Gọi $B^{n+1}$ là tập tất cả các xâu nhị phân độ dài $n+1$, tức là $$B^{n+1}= \left \{ a_na_{n-1} \cdots a_0 \mid a_i \in \{ 0,1 \} \forall i=0,1, \cdots , n \right \}.$$
Với mỗi xâu $a=a_na_{n-1} \cdots a_0$ thuộc $B^{n+1}$ ta gọi $s(a)=a_n+a_{n-1}+ \cdots +a_0 \pmod 2$ là bit kiểm tra của xâu $a$ và $v(a)=a_n2^n+a_{n-1}2^{n-1}+ \cdots + a_1 \cdot 2+a_0$ là giá trị của xâu $a$. Gọi $B_0^{n+1}, B_1^{n+1}$ tương ứng là tập hợp tất cả các xâu nhị phân có độ dài $n+1$ có bit kiểm tra tương ứng là $0$ và $1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k\leq n$, ta có đẳng thức $$\sum_{a \in B_0^{n+1}}(v(a))^k= \sum_{a \in B_1^{n+1}}(v(a))^k.$$

Theo VMF

Short_list
28-02-2016, 03:22 PM
Ta có thể làm triệt để phần chặt hơn của cấu hình này
Chứng minh $k=k_0=3\sqrt{3}-4$ là hằng số nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c>0:$
$$3k(ab+bc+ca)+3 \sqrt{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)} \le (k+1)(a+b+c)^2.$$

Phần chặt vẫn còn hằng số lớn nhất nữa anh. Ta có $k_0=3+2\sqrt{2}$ là hằng số dương lớn nhất nhất để bất đẳng thức sau đúng
$$\frac{ab+bc+ca+k_0\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a +b+c+k_0\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}.$$
Bài toán 1 của đề thi là trường hợp $k = 1 < k_0.$

namdung
04-03-2016, 10:53 AM
Đề thi và đáp án 2 ngày của Tiểu trường xuân miền Nam

tmp
24-04-2016, 02:04 PM
Cám ơn T Dũng