Hinh hoc 5 (chứng minh đi qua điểm cố định)

[vietha_9999]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). P chạy trên đường BC và khác B, C. AP ∩ (O) = N ≠ A. Đường tròn đường kính AP giao (O) tại E ≠ A, AE ∩ BC = M.
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn qua điểm cố định.
b) Chứng minh rằng đường tròn (AMN) luôn qua điểm cố định khác A.

[ma 29]

Sau đây là lời giải và hình vẽ:))


a)MN cắt lại (O) ở G.Ta sẽ cm G chính là điểm cố định.
Kẻ AH vuông góc với BC.
Ta thấy H sẽ thuộc (AEP).
Do đó : \bar{MH}.\bar{MP} =\bar{MA}.\bar{ME} =\bar{MG}.\bar{MN}
Suy ra GHNP đồng viên
Kéo dài GH cắt lại (O) ở Q thì có:
(AP,AQ) \equiv (GN,GQ) \equiv (PN,PB) (mod \pi)
=> AQ//BC => Q cố định =>G cố định.


b)Ta có G cố định nên (NG,NP) \equiv a (mod \pi) (a là hằng số).
Thế thì nếu (AMN) cắt BC lần nữa ở I thì (IM,IA) \equiv (NG,NP) \equiv a (mod\pi)
a là hằng số nên I cố định.