Các tập cùng lực lượng

[zinxinh]

Chứng minh tập $\mathbb Z\times\mathbb Z$ là tập đếm được

[Thụy An]

Chứng minh tập $\mathbb Z\times\mathbb Z$ là tập đếm được
Xét song ánh $\mathfrak{b}:\,\mathbb Z\to\mathbb N$ xác định bởi\[\mathfrak{b}( x ) = \left\{ \begin{array}{l}
2x&\text{nếu}\;x\ge 0\\
- 2x - 1&\text{nếu}\;x< 0.
\end{array} \right.\]
Khi đó có song ánh $\mathfrak B:\,\mathbb Z\times\mathbb Z\to\mathbb N$ xác định bởi\[\mathfrak B\left( {x,\,y} \right) = {2^{\mathfrak{b}( x)}}\left( {2\mathfrak{b}( y ) + 1} \right) - 1.\]

[zinxinh]

Chứng minh tập số đại số là đếm được

[portgas_d_ace]

Theo định nghĩa về số đại số. Số thực $a$ được gọi là một số đại số nếu nó là nghiệm của một phương trình đa thức mà các hệ số là số nguyên. Do đó, ta có lực lượng của tập các số đại số sẽ không lớn hơn lực lượng của tập hợp các đa thức có hệ số nguyên. Mà tập hợp các đa thức có hệ số nguyên là đếm được nên tập hợp các số đại số là đếm được.

[zinxinh]

Chứng minh tập số hàm lên tục bằng R

[vankhuekt]

Chứng minh tập số hàm lên tục bằng $\mathbb R$.
Phát biểu như thế này là không ổn. Hàm là hàm, làm sao là số được :)

[zinxinh]

A={ hàm số f(x) /sao cho f(x) là hàm số liên tục với mọi x thuộc R}
Chứng minh |A|=R

[vankhuekt]

A={ hàm số f(x) /sao cho f(x) là hàm số liên tục với mọi x thuộc R}
Chứng minh |A|=R
Phải là |A| = |R| chứ nhỉ?

[zinxinh]

Một hàm số liên tục biến tập liên tục từ R-> R cho một quy tắc từ Q->R ,nó thống kê đầy đủ .Bởi vậy tập giá trị Q sang R sẽ quyết định hàm số f liên tục trên R.Lực lượng RxR sẽ bằng R ,do đó tập số hàm số liên tục trên R có lực lượng R.Do vậy tập hàm liên tục trên R là bằng lực lượng R

Một tập đại số là đếm được hay tập đại số là đánh số được.Vậy tập số không đại số ,hay số siêu việt là không đếm được.Nói một cách khác là nếu trên trục thực ta vu vơ lấy một số,thì số đó là số siêu việt gần như chắc chắn.

[LAhpnss]

Hai tập được gọi là có cùng lực lượng nếu tồn tại 1 song ánh giữa chúng. Hãy chứng minh rằng:
Lực lượng của tập số thực bằng lực lượng của đoạn thẳng có độ dài dương.
Mọi người giúp em bài này với, em cảm ơn ạ.

[Thụy An]

Hai tập được gọi là có cùng lực lượng nếu tồn tại 1 song ánh giữa chúng. Hãy chứng minh rằng:
Lực lượng của tập số thực bằng lực lượng của đoạn thẳng có độ dài dương.
Mọi người giúp em bài này với, em cảm ơn ạ.
Mấu chốt là xây dựng song ánh từ $[0;\,1]$ đến $(0;\,1)$ thôi. Một song ánh như thế, có thể là như sau
\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2},&\quad\text{nếu}\;x = 0.\\
\frac{1}{2^{k + 2}},&\quad\text{nếu}\;x = \frac{1}{2^k}\;\text{với}\;k\in\mathbb N.\\
x,&\quad\text{nếu}\;x\notin\left\{\frac{1}{2^k}:\;k \in\mathbb N\right\}\cup\{0\}.
\end{array} \right.\]
Song ánh nối $(0;\,1)$ lên $\mathbb R$ thì đơn giản, ví dụ $g(x)=\cot\pi x$.

[vnt.hnue]

Mấu chốt là xây dựng song ánh từ $[0;\,1]$ đến $(0;\,1)$ thôi. Một song ánh như thế, có thể là như sau
\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2},&\quad\text{nếu}\;x = 0.\\
\frac{1}{2^{k + 2}},&\quad\text{nếu}\;x = \frac{1}{2^k}\;\text{với}\;k\in\mathbb N.\\
x,&\quad\text{nếu}\;x\notin\left\{\frac{1}{2^k}:\;k \in\mathbb N\right\}\cup\{0\}.
\end{array} \right.\]

Liệu có cách nào khác không anh? Với sinh viên năm nhất chưa học Topology thì có lẽ chưa tiếp cận được cách này.