PDA

View Full Version : Một bất đẳng thức


mathsbc
22-08-2008, 05:17 AM
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=xyz.Chứng minh rằng
xy+yz+zx=\sqrt(1+x^2)+\sqrt(1+y^2)+\sqrt(1+z^2)

lang tu
22-08-2008, 04:34 PM
Bạn có nhầm đề không đấy.Đẳng thức hay là bất đẳng thức vậy.

quanghuyhl07
22-08-2008, 09:46 PM
Đề đúng như thế này: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=xyz.Chứng minh rằng
xy+yz+zx \geq \sqrt(1+x^2)+\sqrt(1+y^2)+\sqrt(1+z^2)

t.d.anh
26-08-2008, 12:05 PM
tôi xin đưa ra bdt sau manh hơn: với x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=xyz
xy+xz+yz\ge3+\sqrt(x^2+1)+\sqrt(y^2+1)+\sqrt(z^2+1 )
việc cm bdt trên hoàn toàn dễ dàng.

t.d.anh
28-08-2008, 01:11 PM
tôi làm rõ hơn nhé.dễ dàng cm được\sum x^2y^2\ge x^2y^2z^2
sau đó ta có (xy+yz+zx-3)^2\ge3(x^2+y^2+z^2)+9
đến đây dễ thấy chỉ cần áp dụng bunhia nữa là xong.

math_is_strong
28-08-2008, 02:37 PM
Bài này lượng giác hóa là được mà . Đặt a=tanA,b=tanB,c=tanC , rồi biến đổi thôi .

lang tu
31-08-2008, 09:01 PM
Bài này có trong quyển Old and new rồi!

quanghuyhl07
01-09-2008, 09:12 AM
nhưng trong đó lại không có lời giải

lang tu
01-09-2008, 09:58 AM
Sao lại không có cơ chứ?

lang tu
01-09-2008, 09:24 PM
Lời giải cụ thể đây
Ta có xyz=x+y+z\geq z+2\sqrt{xy}\Rightarrow z{\sqrt{xy}}^{2}-2\sqrt{xy}-z\geq 0
Do đó ta có \sqrt{xy}\geq \frac{1+\sqrt{1+{z}^{2}}}{z}\Leftrightarrow z\sqrt{xy}\geq 1+\sqrt{1+{z}^{2}}
Do đó ta có xy+yz+xz\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}\geq 3+\sqrt{1+{x}^{2}}+\sqrt{1+{y}^{2}}+\sqrt{1+{z}^{2 }}