\sum i^{p-2}

[modular]

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lẻ thì \sum_{i=1}^{p-1}2^ii^{p-2}-\sum_{i=1}^{(p-1)/2}i^{p-2} chia hết cho p.

[SideWinder]

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lẻ thì \sum\limits_{i=1}^{p-1}2^ii^{p-2}-\sum\limits_{i=1}^{(p-1)/2}i^{p-2} chia hết cho p.

Chứng minh.
Xét trong Zp
Trước hết, ta có:
\sum\limits_{i=1}^{p-1}2^ii^{p-2}-\sum\limits_{i=1}^{(p-1)/2}i^{p-2}
=\sum\limits_{i=1}^{p-1}2^i\frac{1}{i}-\sum\limits_{i=1}^{(p-1)/2}\frac{1}{i}

Ta có nhận xét:
\frac{1}{i}=-\frac{1}{i(p-1)!}=\frac{(-1)^i}{i!(p-i)!}=\frac{(-1)^i}{p!}(\frac{p}{i})
Từ đó, ta có:
\sum\limits_{i=(p+1)/2}^{p-1}
=-\sum\limits_{i=1}^{p-1}\frac{(-1)^i}{i}
=-\frac{1}{p!}(\sum_{i=0}^p(\frac{p}{i})-2)
=-\frac{1}{p!}(2^p-2)

Do đó \sum\limits_{i=1}^{(p-1)/2}\frac{1}{i}=\frac{2^p-2}{p!}

Ta lại có
\sum\limits_{i=1}^{p-1}2^i\frac{1}{i}
=\frac{1}{p!}\sum\limits_{i=1}^{p-1}2^i(-1)^i(\frac{p}{i})
=\frac{1}{p!}(\sum\limits_{i=0}^{p}(-2)^i(\frac{p}{i})+2^p-1)
=\frac{1}{p!}(2^p-2)

Vậy =\sum\limits_{i=1}^{p-1}2^i\frac{1}{i}-\sum\limits_{i=1}^{(p-1)/2}\frac{1}{i}=0
Q.E.D


Sắp thi rồi, offline thôi. Chuyện giang hồ tính sau.