chứng minh tồn tại dãy số nguyên thỏa mãn điều kiện

[skater]

cho dãy a_1, a_2,.., a_n nguyên và ko có số nào chia hết cho m^{n-1}. Chứng minh tồn tại bộ số nguyên b_1, b_2,.. b_n ko đồng thời bằng 0 sao cho |b_i| <m và b_1a_1+b_2a_2+...+b_na_n chia hết cho m^n

[dong1919]

[Only registered and activated users can see links]
Có bên này rồi mà Lộc , hình như đây là cách giải ngắn nhất ( cũng có thể là duy nhất) của bài này

[modular]

Bài này là IMO Shortlist năm 2002, bài N5.
[Only registered and activated users can see links]

[skater]

vấn đề là bài này được giải theo số phức, mà đến giờ mình vẫn chưa bít số phức nên có đọc đoạn sau mấy lần cũng ko hiểu. Chẳng lẽ nếu ko dùng số phức thì đây là bài toán cụt chăng???

[skater]

các anh em trên diễn đàn quan tâm bài này tí được ko, đừng thấy dẫn link mà phớt lờ đi. Thử làm xem, mình đã làm mất nhìu thời gian rùi mà ko đc

[fool90]

Về sơ lược lời giải như sau.
Bổ đề .Với mọi k=m^n ,tồn tại x nguyen dương ,p nguyên tố sao cho k là bậc của x mod p.

Xét (b_1;b_2...b_n) chạy trên [0,(m-1)]^n -(0,0,....,0), khi đó cho ta m^n-1 tổng S(b_1;b_2,...b_n)=\sum\limit_{i=1}^{n} b_i a_i
*)nếu tồn tại 2 tổng đồng dư mod m^n , giả sử là S(c_1;c_2;..c_n) =S(d_1,d_2,....d_n) ( mod m^n) khi đó S(c_1-d_1,c_2-d_2,..c_n-d_n) \vdots m^n \Rightarrow dpcm.
*)bây giờ giả sử không tồn tại 2 tổng nào đồng dư với nhau ,và không có tổng nào chia hết cho m^n
Khi đó rõ ràng S(b_1,b_2,....b_n) lập thành một thặng dư khuyết 0 mod m^n.
Xét đa thức P(x)=\prod\limits_{i=1}^{n} (1+x^{a_1} +....+x^{a_1^(m-1)}
=\prod\limits_{i=1}^{n} \frac{x^{m.a_i}-1}{x^{a_i-1}}=A(X)
Với A(x)=\sum x^{a_1.b_1+a_2.b_2+....+a_n.b_n} (khi (b_1.b_2,,,....b_n) chạy trên [0,(m-1)]^n- (0,0,...0)
Chọn a nguyên dương ,p nguyên tố sao cho m^n là bậc của a mod p.
Do đó a^{m^n} \equiv 1 (mod p)
chú ý rằng khi (b_1;b_2;....b_n) chạy trên [0,(m-1)]^n -(0,0,...0) \ \ \Rightarrow S(b_1;b_2;....b_n) là thặng dư khuyết 0 mod m^n
nên A(a)\equiv \sum\limits_{i=1}^{m^n-1} a^i =\frac{a^{m^n}-1 }{a-1} \vdots p
nên P(a) \vdots m^n \Rightarrow \prod\limits_{i=1}^{n} \frac{x^{m.a_i}-1}{a^{a_i-1}} \vdots p
=> tồn tại i sao cho \frac{x^{m.a_i}-1}{x^{a_i-1}} \vdots p
=> tồn tại i : a^{m.a_i } -1 \vdots p
=> tồn tại i: m.a_i \vdots m^n ( do m^n là bậc của a mod p)
=> a_i \vdots m^{n-1} ( vô lí)
Vậy tồn tại (b_1,b_2,....b_n) sao cho a_1.b_1+...+a_n.b_n \vdots m^n

From psquang_pbc Tích =\prod ông anh ạ

[fool90]

Ở đây mình đã dùng một biến đổi so với lời giải phức ! hiện mình đang tìm hiểu sâu về vấn đề này ,mong dc sự giúp đỡ bằng cácg góp ý kiến với bổ đề sau:
Chứng minh rằng mọi k nguyên dương ,tồn tại a nguyên dương ,p nguyên tố , sao cho k là bậc của a mod p.

[n.t.tuan]

Để thày giúp Thực nhé!
Với mỗi số nguyên dương k>1, lấy p là số nguyên tố để p-1=kn, điều này làm được theo Định lý Dirichlet. Sau đó chọn phần tử a có bậc p-1, thì phần tử a^n sẽ có bậc k.

[skater]

Định lí Đrichlet là như thế nào hả anh??

anh phát biểu định lí đó được ko??

[n.t.tuan]

Một cấp số cộng với số đầu và công sai là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau chứa vô hạn các số nguyên tố.

P/S: Đừng post hai bài quá gần nhau trong một topic.

[skater]

Để thày giúp Thực nhé!
Với mỗi số nguyên dương k>1, lấy p là số nguyên tố để p-1=kn, điều này làm được theo Định lý Dirichlet. Sau đó chọn phần tử a có bậc p-1, thì phần tử a^n sẽ có bậc k.

phần tử a^n thuộc cấp số cộng à thầy

[n.t.tuan]

Không hiểu chú hỏi cái gì? Ý anh nói là áp dụng Định lý Dirichlet cho cấp số cộng
{1+kn|n=0,1,...}.

[fool90]

Mời các bạn xem ở đây để giải đáp những câu hỏi của mình và chứng minh 1 định lí có tầm ứng dụng rất cao (:D) -gọi là bổ đề CNN.
[Only registered and activated users can see links]