Bài tập độ đo và tích phân

[bigger]

Bài 1: Chứng minh rằng: nếu hàm số f khả tích trên một tập hợp A và \A_n=\{x \in A: |f(x)|>=n\}n=1,2,... thì \lim_{n \rightarrow \infty}n\mu(A_n)=0

Bài 2: Cho A là tập đo được và f : A \rightarrow R là hàm khả tích (theo độ đo \mu). Ta đặt:
B_n=\{x \in A: |f(x)|\geq n \}
A_n= \{x \in A: n \leq |f(x)|<n+1 \}, n \in N
Chứng minh rằng:
a) \mu(B_n)< +\infty,\forall n \in N
b) \lim_{n \rightarrow \infty}\mu(B_n)=0
c) \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=n}^{\infty} \mu(A_k)=0

Bài 3: Giả sử f là hàm khả tích trên A. Chứng tỏ rằng khi đó tập \{ x \in A: f(x) \neq 0\} có thể biểu diễn thành hợp của một họ đếm được các tập có độ đo hữu hạn và rời nhau từng đôi.

Bài 4: Giả sử f,f_1,f_2,... là những hàm số đo được (L) trên không gian R thỏa mãn các điều kiện sau:
|f(x)| \leq \frac{1}{|x|} h.k.n trên R với mọi số tự nhiên n.
f_n \rightarrow f h.k.n trên R
a) Chứng minh rằng tập hợp:
A= \{x \in R: \exists n \in N sao cho |f_n(x)-f(x)|> \frac{2}{|x|}\} có độ đo Lebesgue bằng không.
b) Chứng minh rằng f_n \rightarrow f theo độ đo trên R

[99]

Bài 1 : n\mu(A_n)\leq\int\limits_{A_n}|f|d\mu\to 0

Bài 2: câu b,c là một .

\mu(B_n)\leq\int\limits_{A}\frac{|f|}{n}d\mu\to 0

PS: tuy đề bài không nói rõ, mình giả định là \mu là độ đo dương

[cong_dat7979]

Mình mới làm quen với độ đo gần đây nên mạo muội đưa ra lời giải cho bài 3, có gì mong mọi người góp ý. thanks.
Đặt B=\{x \in A : f(x) \neq 0\}
A_n=\{x \in A: n <|f(x)| \leq n+1\}
Ta cm được:B=\bigcup{1}^{\infty}A_n và các A_n rời nhau từng đôi một.
vì f khả tích trên A nên |f|khả tích trên A_n, do đó:
+\infty> \int_{A_n}^{}|f|d\mu\geq n\mu(A_n) đúng với mọi n
nên \mu(A_n)=0(ở đây mình giả định \mulà độ đo không âm)
Vậy ta có dpcm.

[bigger]

Theo mình bạn đặt tập A_n như vậy là chưa hợp lý.
Đặt A_o=\{x \in A: |f(x)|>1\}
A_n=\{x \in A: \frac{1}{n+1}<|f(x)|\leq\frac{1}{n}\}, n\in N
lúc đó \{x \in A: f(x)\neq 0\}=A_o\cup(\bigcup_{n=1}{\infty}A_n)

[bigger]

Mình có câu hỏi muốn mọi người giúp:
1. Nếu |f| đo được thì f có đo được không?
2. Nếu f^2 đo được thì f có đo được không?

[mathvn]

Mình có câu hỏi muốn mọi người giúp:
1. Nếu |f| đo được thì f có đo được không?
2. Nếu f^2 đo được thì f có đo được không?

Đây là bài cơ bản.
lấy A \notin \sigma _ đại số \mathcal{A}
xét f(x)= 1 nếu x \in A và f(x)=-1 nếu x\notin A
vậy |f|=1và f^2=1, \forall x do đó đo được nhưng f không đo được vì \{x: f(x)=1\}=A \notin \mathcal{A}

[123456]

mình xin giải bài 4 như sau:
Đặt B=\{x:|f_n(x)|\leq \frac{1}{|x|}, \forall n; f_n(x)\longright f(x)}\ thì B^c là tập có độ đo không. nếu x thuộc B thì |f(x)|=\lim\limits_{n\to\infty}|f_n(x)|\leq\frac{1 }{|x|}. Do đó |f_n(x)-f(x)|\leq\frac{2}{|x|} với mọi n, tức là x không thuộc A, vì vậy A\subset B^c, tức là A có độ đo không.
để chứng minh

[123456]

[QUOTE=123456;16574][QUOTE=123456;16572]mình xin giải bài 4 như sau:
Đặt B=\{x:|f_n(x)|\leq \frac{1}{|x|}, \forall n; f_n(x)\longright f(x)}\ thì B^c là tập có độ đo không. nếu x thuộc B thì |f(x)|=\lim\limits_{n\to\infty}|f_n(x)|\leq\frac{1 }{|x|}. Do đó |f_n(x)-f(x)|\leq\frac{2}{|x|} với mọi n, tức là x không thuộc A, vì vậy A\subset B^c, tức là A có độ đo không.
để chứng minhf_n hội tụ tới f theo độ đo ta làm như sau: với \epsilon > 0 cho trước, chọn X đủ lớn sao cho \frac{2}{|X|}<\epsilon. do đoạn [-X,X] có độ đo hữu hạn nên f_n hội tụ tới f theo độ đo, và ta có m(\{x: |x|>X, |f_n(x)-f(x)|>\epsilon\})=0. Từ đó ta có điều phải chứng minh.