Phương pháp SOS, SS và một số bất đẳng thức với đẳng thức ko tại tâm

[chien than]

Tác giả:10 math
Như chúng ta đã biết phương pháp SOS và SS là hai phương pháp khá hiệu quả với cấc bài toán bđt 3 biến ko chứa căn, nhưng một yếu tốt tiên quyết để đưa về được dạng chuẩn của phương pháp là bất đẳng thức phải có dấu bằng đạt tại tâm. Vậy với những bài toán không có đẳng thức tại tâm thì sao? Bài viết này xin đưa ra một số ví dụ quy từ bất đẳng thức tại biên về chứng minh bất đẳng thức tại tâm, công việc tưởng chừng khó khăn hơn này lại giúp ta xác định được một đường lối quen thuộc và rõ ràng hơn để chứng minh. Các ví dụ sau có thể giúp bạn nhìn nhận rõ hơn về kỹ thuật này.


Ví dụ 1: Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 3. Chứng minh rằng:
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) \le \frac{27}{4}
Lời giải.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) \le \frac{1}{4}(a+b+c)^3
Giả sử c=min(a,b,c), ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn sau:
(a+b+c)^3 \ge 4 \left(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\right)+3abc \\ \Leftrightarrow (a+b-c)(a-b)^2+c(a-c)(b-c) \ge 0
Bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh bất đẳng thức:
\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b} \ge \frac{5}{2} \qquad (*)
Lời giải.
Ta có:
(*) \Leftrightarrow (ab+bc+ca)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{ 1}{a+b}\right)^2 \ge \frac{25}{4}
Quy bất đẳng thức cần chứng minh về:
(ab+bc+ca)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{ 1}{a+b}\right)^2 \ge \frac{25}{4}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \\ \Leftrightarrow (ab+bc+ca)\left(\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2 }+\frac{1}{(c+a)^2}\right)+\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca )}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge \frac{9}{4}+4+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}
Chú ý rằng:
\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1+\frac{ abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
(ab+bc+ca)\left(\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2 }+\frac{1}{(c+a)^2}\right) \ge \frac{9}{4}
Bất đẳng thức cuối chính là bất đẳng thức Iran96 quen thuộc, phép chứng minh hoàn tất.

Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm a,b,c:
\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+ \frac{c(a+b)}{a^2+b^2} \ge 2
Lời giải.
Bất đẳng thức mạnh hơn vẫn đúng:
\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+ \frac{c(a+b)}{a^2+b^2} \ge 2+\frac{8a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} \qquad (*)
Lời giải 1:
(*) \Leftrightarrow \sum\limits_{sym} \left(a(b+c)(a^2+b^2)(a^2+c^2)\right) \ge 2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)+8a^2b^2c^2 \\ \Leftrightarrow \sum\limits_{sym} a^5(b+c)+2\sum\limits_{sym} b^2c^2+abc\sum\limits_{sym} a^2(b+c) \ge 2\sum\limits_{sym} a^4(b^2+c^2)+12a^2b^2c^2
Giả sử c=min(a,b,c) ta có:
VT-VP=M(a-b)^2+N(a-c)(b-c)
Trong đó:
M = 2(a^2+b^2+c^2)(a+b-c)c \ge 0 \\ N = (a^2+b^2+c^2)(a-b)^2+(a^3+b^3)c+(a+b)c^3+2c(a^2b+b^2c-a^2c-b^2c) \ge 0
Bất đẳng thức được chứng minh.
Lời giải 2:
Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng SOS:
S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2 \ge 0
Với:
S_a = \frac{bc-a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{a^2(b+c)^2}{(a^2+b^ 2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} \\ = \frac{bc(2a^2+b^2+c^2)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2 )} \ge 0
Tương tự ta có S_b,S_c \ge 0, bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 4: Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
(a+b+c)\left(\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+ \frac{c^2}{a^2+b^2} \right)\ge 4
Lời giải.
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng nếu ta chứng minh được:
(a+b+c)\left(\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+ \frac{c^2}{a^2+b^2}\right) \ge 4+\frac{4a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} \qquad (*)
Lời giải 1:
(*) \Leftrightarrow \sum\limits_{sym} \frac{a^2}{b^2+c^2} +\sum\limits_{sym} \frac{a(b+c)}{b^2+c^2} \ge 4+\frac{4a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}
Áp dụng bất đẳng thức trong bài 3:
\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+ \frac{c(a+b)}{a^2+b^2} \ge 2+\frac{8a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}
Còn lại ta cần chứng minh:
\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2} {a^2+b^2}+\frac{4a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2 +a^2)} \ge 2\\ \Leftrightarrow (a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2)^2+c^2(a^2-c^2)(b^2-c^2) \ge 0
Giả sử c=min(a,b,c) ta có ngay điều phải chứng minh.
Lời giải 2:
Đưa bất đẳng thức về dạng:
S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2 \ge 0
Trong đó:
S_a = \frac{(b+c)^2}{2(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{bc-a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{a^2(b+c)^2}{2(a^2+b ^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\\ S_b = \frac{(c+a)^2}{2(b^2+c^2)(b^2+c^2)}+\frac{ca-b^2}{(b^2+c^2)(b^2+a^2)}+\frac{b^2(c+a)^2}{2(a^2+b ^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\\ S_c = \frac{(a+b)^2}{2(c^2+a^2)(c^2+b^2)}+\frac{ab-c^2}{(c^2+a^2)(c^2+b^2)}+\frac{c^2(a+b)^2}{2(a^2+b ^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}
Giả sử a \ge b \ge c, ta chứng minh được S_b,S_b+S_a,S_b+S_c \ge 0, áp dụng tiêu chuẩn 2 của SOS ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 5: Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c là các số thực không âm:
\frac{a^2+bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+ca}{c^2+a^2}+ \frac{c^2+ab}{a^2+b^2} \ge \frac{5}{2}
Lời giải.
Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn sau:
\frac{a^2+bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+ca}{c^2+a^2}+ \frac{c^2+ab}{a^2+b^2} \ge \frac{5}{2}+\frac{4a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c ^2+a^2)}
Lời giải 1:
Bất đẳng thức tương đương với:
2 \sum\limits_{sym} \left((a^2+bc)(a^2+b^2)(a^2+c^2)\right) \ge (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)+8a^2b^2c^2 \\ \Leftrightarrow 2 \sum\limits_{sym} a^6+2 \sum\limits_{sym} b^3c^3+2abc \sum\limits_{sym} a^3+2abc \sum\limits_{sym} a^2(b+c) \ge 3 \sum\limits_{sym} a^4(b^2+c^2)+12a^2b^2c^2
Giả sử c=min(a,b,c), ta có:
VT-VP=M(a-b)^2+N(a-c)(b-c)
Với:
M = 2(a^4+b^4)+4ab(a^2+b^2)+a^2b^2+abc^2+(a+b)c^3+(2a^ 2b^2-a^2c^2-b^2c^2)+2c(a^2b+ab^2-a^2c-b^2c) \ge 0\\ N = c\left((3ab+2c^2)(a+b)+4abc+2c^3+(a^2b+ab^2-a^2c-b^2c)\right) \ge 0
Phép chứng minh hoàn tất.
Lời giải 2:
Đưa bất đẳng thức về dạng SOS:
S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2 \ge 0
Trong đó:
S_a = \frac{(b+c)^2}{2(a^2+b^2)(a^2+c^2)}-\frac{1}{2(b^2+c^2)}+\frac{a^2(b+c)^2}{2(a^2+b^2)( b^2+c^2)(c^2+a^2)} \\ S_b = \frac{(c+a)^2}{2(b^2+c^2)(b^2+a^2)}-\frac{1}{2(c^2+a^2)}+\frac{b^2(c+a)^2}{2(a^2+b^2)( b^2+c^2)(c^2+a^2)} \\ S_c = \frac{(a+b)^2}{2(c^2+a^2)(c^2+b^2)}-\frac{1}{2(a^2+b^2)}+\frac{c^2(a+b)^2}{2(a^2+b^2)( b^2+c^2)(c^2+a^2)}
Ta chứng minh được S_b,S_b+S_a,S_b+S_c \ge 0 áp dụng tiêu chuẩn 2 ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 6: Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh bất đẳng thức:
(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) \le \frac{1}{32}
Lời giải.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) \le \frac{1}{32}(a+b+c)^6
Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn:
(a+b+c)^6 \ge 32(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)+473a^2b^2c^2 \\ \Leftrightarrow (a+b+c)^6 \ge 32\left(a^4(b^2+c^2)+b^4(c^2+a^2)+c^4(a^2+b^2) \right) +537a^2b^2c^2
Giả sử c=min(a,b,c).
Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:
M(a-b)^2+N(a-c)(b-c) \ge 0
Trong đó:
M = (a+b)^4+10(a^3+b^3)c+17(a+b)abc+3(a+b)c^3+147abc^2 +7c^4+21c(a^2b+ab^2-a^2c-b^2c) \ge 0\\ N = 4(a-b)^4+c\left((a+b)(79ab+7c^2)+57abc+c^3+17(a^2b+ab^ 2-a^2c-b^2c) \right) \ge 0
Bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm a,b,c:
(a+b)(b+c)(c+a) \ge 2\sqrt{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}
Lời giải.
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng nếu ta chứng minh được.
(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \ge 4(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)+32a^2b^2c^2
Giả sử c=min(a,b,c), ta có:
VT-VP=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2+8abc^2(a-b)^2+4abc(a+b)(a-c)(b-c) \ge 0
Bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta có:
\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{ c(a+b)}{c^2+ab} \ge 2
Lời giải.
Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:
\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{ c(a+b)}{c^2+ab} \ge 2+\frac{8a^2b^2c^2}{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}\\ \Leftrightarrow \sum\limits_{sym} \left(a(b+c)(b^2+ca)(c^2+ab)\right) \ge 2(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)+8a^2b^2c^2\\ \Leftrightarrow \sum\limits_{sym} a^4(b^2+c^2)+3abc\sum\limits_{sym} a^2(b+c) \ge \sum\limits_{sym} b^3c^3+2abc \sum\limits_{sym} a^3+12a^2b^2c^2
\Leftrightarrow \left((ac+bc-ab)^2+c^2(4ab+c^2-2ac-2bc)\right)(a-b)^2+abc(a+b)(a-c)(b-c) \ge 0
Giả sử c=min(a,b,c) ta có điều phải chứng minh

[chien than]

Ví dụ 9: Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b ^2} \ge \frac{4}{5}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac {1}{a+b}\right)
Lời giải.
Ta chứng minh bất đẳng thức:
\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b ^2} \ge \frac{4}{5}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac {1}{a+b}\right)+\frac{36a^2b^2c^2}{5(a^2+b^2)(b^2+ c^2)(c^2+a^2)(a+b+c)}\\ \Leftrightarrow \sum\limits_{sym} \frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\sum\limits_{sym} \frac{a^2}{b^2+c^2} \ge \frac{12}{5}+\sum\limits_{sym} \frac{a}{b+c}+\frac{36a^2b^2c^2}{5(a^2+b^2)(b^2+c^ 2)(c^2+a^2)} \qquad (*)
Ta có:
\frac{4}{5}\left(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^ 2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\right) \ge \frac{4}{5}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac {c}{a+b}\right) \qquad (1)
\frac{1}{5}\left(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^ 2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{4a^2b^2c^2}{(a^2+ b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\right) \ge \frac{1}{5}.2 \qquad (2)
\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+ \frac{c(a+b)}{a^2+b^2} \ge 2+\frac{8a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} \qquad (3)
Cộng vế (1) (2) và (3) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 10: Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng:
a^2b+b^2c+c^2a \le 4
Lời giải.
Bất đẳng thức tương đương với:
a^2b+b^2c+c^2a \le \frac{4}{27}(a+b+c)^3
Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:
4(a+b+c)^3 \ge 27(a^2b+b^2c+c^2a)+27abc
\Leftrightarrow (4a+4b+c)(a-b)^2+(16b+4c-11a)(a-c)(b-c) \ge 0
Chú ý rằng ta có đẳng thưc đơn giản sau với mọi số thực a,b,c:
P(a-c)(b-c)(a-b)^2-P(a-b)^2(a-c)(b-c)=0
Cho P=-\frac{4(a+b)}{ab} ta được:
-\frac{4(a+b) (a-c)(b-c)} {ab} (a-b)^2+\frac{4(a+b) (a-b)^2}{ab} (a-c)(b-c)=0
Do đó bất đẳng thức có thể viết lại dưới dạng:
M(a-b)^2+N(a-c)(b-c) \ge 0
Trong đó:
M = 4a+4b+c-\frac{4(a+b)(a-c)(b-c)}{ab}=\frac{c(4a^2+4b^2+9ab-4ac-4bc)}{ab} \ge 0\\ N = 16b+4c-11a+\frac{4(a+b)(a-b)^2}{ab}=\frac{(4a+b)(a-2b)^2+4abc}{ab} \ge 0
Bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 11: Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
(a^2b+b^2c+c^2a)+2(ab^2+bc^2+ca^2) \le 6\sqrt{3}
Lời giải.
Bất đẳng thức tương đương với:
(a^2b+b^2c+c^2a)+2(ab^2+bc^2+ca^2) \le 2\sqrt{3}\frac{(a+b+c)^3}{9}
Giả sử c=min(a,b,c), ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:
9(a^2b+b^2c+c^2a)+18(ab^2+bc^2+ca^2)+(54\sqrt{3}-81)abc \le 2\sqrt{3}(a+b+c)^3
Giả sử c=min(a,b,c) ta có:
VP-VT=M(a-b)^2+N(a-c)(b-c)
Với:
M = 2\sqrt{3}(a+b)+\left(14\sqrt{3}-27\right)c-\frac{2\sqrt{3}(a+b)(a-c)(b-c)}{ab}\\ = =\frac{\sqrt{3}c\left(2a^2+2b^2-2ac-2bc+(18-9\sqrt{3})ab\right)}{ab} \ge 0\\ N = \left(8\sqrt{3}-9\right)a+\left(8\sqrt{3}-19\right)b+2\sqrt{3}c+\frac{2\sqrt{3}(a+b)(a-b)^2}{ab} \\ = \frac{\sqrt{3}\left(2a+\left(2+\sqrt{3}\right)b\ri ght)\left(a+\left(1-\sqrt{3}\right)b\right)^2+2\sqrt{3}abc}{ab} \ge 0
Bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 12: Tìm hằng số k bé nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm a,b,c:
k(a+b+c)^4 \ge (a^3b+b^3c+c^3a)+abc(a+b+c)
Lời giải.
Cho a=3,b=1,c=0 suy ra k \ge k_0=\frac{27}{256}. Ta sẽ chứng minh đây là giá trị cần tìm, nghĩa là:
\frac{27}{256}(a+b+c)^4 \ge (a^3b+b^3c+c^3a)+abc(a+b+c)
Khong mất tính tổng quát giả sử c=min(a,b,c), ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn sau:
27(a+b+c)^4 \ge 256(a^3b+b^3c+c^3a)+473abc(a+b+c)\\ \Leftrightarrow M(a-b)^2+N(a-c)(b-c) \ge 0
Với:
M = 27(c+b)^2-40ac-40bc+189c^2-\frac{\left(27(a+b)^2+68(a+b)c\right)(a-c)(b-c)}{ab}\\ N = 216ab-148a^2+108b^2-121ac+135bc+27c^2+\frac{\left(27(a+b)^2+68(a+b)c \right)(a-b)^2}{ab}
Ta có:
M.ab = c\left(27(a+b)(a-b)^2+189abc+41c(a+b)^2-68c^2(a+b)\right) \ge 0\\ N.ab = =(27a^2+14ab+3b^2)(a-3b)^2+c(68a^3+68b^3-189a^2b+67ab^2)+27abc^2
Nếu 68a^3+68b^3-189a^2b+67ab^2 \ge 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu 68a^3+68b^3-189a^2b+67ab^2 \le 0:
N.ab \ge (27a^2+14ab+3b^2)(a-3b)^2+b(68a^3+68b^3-189a^2b+67ab^2)
Dùng đạo hàm ta chứng minh được
(27a^2+14ab+3b^2)(a-3b)^2+b(68a^3+68b^3-189a^2b+67ab^2) \ge 0
Do đó ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 13: Tìm hằng số k bé nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm a,b,c:
k(a+b+c)^4 \ge (a^3b+b^3c+c^3a)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+abc(a+b+c)
Lời giải.
Cho a=2,b=1,c=0 suy ra k \ge \frac{4}{27}. Ta chứng minh đây chính là giá trị cần tìm, nghĩa là:
\frac{4}{27} (a+b+c)^4 \ge (a^3b+b^3c+c^3a)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+abc(a+b+c)
Giả sử c=min(a,b,c), ta chứng minh bất đẳng thức sau:
4(a+b+c)^4 \ge 27(a^3b+b^3c+c^3a)+27(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+54abc( a+b+c)\\ \Leftrightarrow M(a-b)^2+N(a-c)(b-c) \ge 0
Trong đó:
M = 4(a^2+b^2)+13c^2+20ab-7c(a+b)-\frac{(4a^2+4b^2+20ab+7ac)(a-c)(b-c)}{ab}\\ = \frac{c\left((a+b)(4a^2+4b^2+13ab+7ac)-7a^2b-c(4a^2+4b^2+7ab+7ac)\right)}{ab} \ge 0\\ N = 4b^2+4c^2-23a^2-7ac+29ab+20bc+\frac{(4a^2+4b^2+20ab+7ac)(a-b)^2}{ab}\\ = \frac{(a+b)(4a+b)(a-2b)^2+ac(4bc+a^2+3b^2+3ab+6(a-2b)^2)}{ab} \ge 0
Bất đẳng thức được chứng minh.

[chien than]

Một số bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn a+b+c=2. Chứng minh rằng:
(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) \le 1
Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm a,b,c:
\frac{ab+ac+4bc}{b^2+c^2}+\frac{bc+ba+4ca}{c^2+a^2 }+\frac{ca+cb+4ab}{a^2+b^2} \ge 4
Bài 3: Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn a+b+c=2. Chứng minh rằng:
a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc \le 2
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với a,b,c là các số thực không âm (k \ge 0):
F=\frac{a+kb}{c+kb}+\frac{b+kc}{a+kc}+\frac{c+ka}{ b+ka}

[chien than]

Đây là file

[duca1pbc]

chien than cũng siêng copy paste nhỉ :D :D

[chien than]

Đây là mấy cái chuyên đề đầu mà anh!

[vipCD]

Tôi không hiểu làm như vậy để làm cái gì nhĩ
Đề toán đẹp mà lời giải thì cồng kềnh
Với những đề toán bt như thế thì pp mới sẽ rất hiệu quả

[neversaynever9]

File bị hỏng rồi anh chị ơi! Làm ơn giúp giùm em đi!

[trungno]

PhƯƠng pháp ss là dồn biến phải ko ạ