Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Đại Số/Algebra (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=12)
-   -   Về hàm isomorphism (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=51934)

nmd2708 09-10-2018 05:53 PM

Về hàm isomorphism
 
Cho $f:\,G\to G$ là một đồng cấu từ nhóm $G$ đến chính nó thỏa mãn $f$ có duy nhất một điểm bất động là phần tử trung hòa (tức là $f(a)=a$ khi và chỉ khi $a=e$). Chứng minh rằng nếu $f(f(a))=a$ với mọi $a\in G$ thì $f(x)=x^{-1}$ với mọi $x \in G$ và $G$ là nhóm Abel.

quangtu123 19-06-2019 03:28 AM

Mình mới giải được trường hợp $G$ giao hoán.

Giả sử $G$ là một nhóm giao hoán. Với mọi $x\in G$, $x\phi(x)$ là một điểm bất động. Suy ra $x\phi(x)=e$, $\phi(x)=x^{-1}$.

Với trường hợp tổng quát, mình định tìm cách xây dựng một điểm bất động (tương tự như $x\phi(x)$ trong trường hợp giao hoán) nhưng chưa tìm ra...

:buc:

MathForLife 25-06-2019 02:26 AM


anysu 03-08-2019 03:38 PM

Ở đây ta cần thêm điều kiện $G$ hữu hạn
Xét $a\in G$, ta có:
$f(a^{-1}f(a))=f(a^{-1}).f(f(a))=f(a)^{-1}.a=(a^{-1}f(a))^{-1}$
Ta chứng minh $g:G\rightarrow G, a\rightarrow a^{-1}f(a)$ là một song ánh. Thật vậy đây là đơn ánh vì
$g(a)=g(b)\Leftrightarrow a^{-1}f(a)=b^{-1}f(b) \Leftrightarrow f(ab^{-1})=ab^{-1}\Leftrightarrow ab^{-1}=e\Leftrightarrow a=b$
Do đó $|Img|\ge |G|$ nên $|Img|=|G|$ nên $g$ là song ánh, dẫn tới $g$ là toàn ánh. Do đó $\forall x\in G, \exist a\in G: x=a^{-1}f(a)$ nên
$f(x)=f(a^{-1}f(a))=(a^{-1}f(a))^{-1}=x^{-1}$
Và $f(ab)=f(a).f(b)$ nên $ab=ba \forall a,b\in G$, G là nhóm abel

quangtu123 25-07-2020 06:30 PM

Nếu mệnh đề này không đúng trong trường hợp tổng quát, một bài toán đặt ra sẽ là, tìm một nhóm con vô hạn không abel $G$ và một đồng cấu nhóm $f:G\to G$ sao cho $f\circ f=\mathrm{id}$, $f$ có duy nhất một điểm bất động $e$ và $f$ không phải là phép nghịch đảo (i.e. tìm một phản ví dụ cho mệnh đề trong trường hợp tổng quát).

Mình định thử với nhóm $GL_n(\mathbb{R})$ và các inner automorphism nhưng chưa tìm được gì. :buc:

EDIT: rõ ràng là inner automorphism là không được, vì $x\mapsto gxg^{-1}$ có ít nhất hai điểm bất động là $e$ và $g$, nếu nhóm là không tầm thường.


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:32 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2020, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 6.35 k/6.73 k (5.66%)]