Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Giải Tích/Analysis (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=13)
-   -   Xấp xỉ hàm liên tục bởi hàm trơn (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=51827)

portgas_d_ace 13-05-2018 06:23 AM

Xấp xỉ hàm liên tục bởi hàm trơn
 
Giả sử $\Omega$ là một tập mở bị chặn của $\mathbb{R}^n$ và $u \in C\left( {\overline \Omega } \right)$ thỏa mãn ${\left. u \right|_{\partial \Omega }} = 0$. Khi đó, có tồn tại hay không dãy $\left\{ {{u_n}} \right\}_{n = 1}^{ + \infty } \subset C_c^\infty \left( \Omega \right)$ sao cho ${u_n}$ hội tụ mạnh về $u$ trong $C\left( {\overline \Omega } \right)$.

123456 19-05-2018 05:59 AM

Trước hết xét $u$ là hàm không âm. Với $\delta >0$, xét hàm $u_\delta(x) = \max\{0,u_\delta(x) -0\}$. Dễ kiểm tra $sup_{x\in \Omega} |u_\delta(x) -u(x)| \leq \delta$. Do đó $u_\delta$ hội tụ đến $u$ trong $C(\bar \Omega)$. Do $u =0$ trên $\partial \Omega$ và $\Omega$ bi chặn nên giá của hàm $u_\delta$ (bao đóng của tập $\{u_\delta >0\} = \{u > \delta\}$) là tập compact trong $\Omega$. Sử dụng kỹ thuật tích chập để làm trơn một hàm, ta có 1 dãy các hàm trong $C_0^\infty(\Omega)$ hội tụ đến $u_\delta$ trong $C(\bar \Omega)$. Do đó ta có thể chọn một hàm $v_\delta \in C_0^\infty(\Omega)$ sao cho $\sup_{x\in \Omega} |u_\delta(x) -v_\delta(x)| < \delta$ và do đó $\sup_{x\in \Omega} |u(x) -v_\delta(x)| < 2\delta$. Hệ quả là $v_\delta$ hội tụ đến $u$ trong $C(\bar \Omega)$.

Nếu $u$ là hàm tùy ý, ta áp dụng kết quả trước cho $u_+ =\max\{u,0\}$ và $u_- = \max\{-u,0\}$.

portgas_d_ace 19-05-2018 08:31 AM

Cái ${u_\delta }$ của anh là sao vậy ạ. Em nghĩ phải là
\[{u_\delta }\left( x \right) = \max \left\{ {0,u\left( x \right) - \delta } \right\}.\]


Múi giờ GMT. Hiện tại là 07:18 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 4.68 k/4.96 k (5.58%)]