Bất đẳng thức giữa chiều cao và cạnh tam giác Cho Tam giác ABC, có các cạnh là a,b,c và các chiều cao là $h_a,h_b,h_c $. Chứng minh rằng. $\frac{1}{2}<\frac{h_a+h_b+h_c}{a+b+c}<1 $ |
Trích:
Nếu là tam giác nhọn thì ta có: Theo BDT về đường xiên và đường vuông góc thì: $h_a < \min \{b, c\}, h_b < \min \{c,a\}, h_c < \min \{a, b\} $. Suy ra: $h_b < c, h_c < a, h_a < b $. Cộng lại là ta có: $h_a+h_b+h_c < a+b+c $. Chiều còn lại của BDT đã cho thì cũng dựa theo BDT tam giác: Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì: $2(h_a+h_b+h_c)>2(HA+HB+HC) =\\= (HA+HB)+(HB+HC)+(HC+HA) >AB+BC+CA =a+b+c $. Ta có đpcm. |
Nếu tam giác tù thì bất đẳng thức $\frac{1}{2}<\frac{h_a+h_b+h_c}{a+b+c} $ sai! |
Trích:
Nhân tiện minh bổ sung Thêm 1 bài BDT hình học nữa. Cho tam giác ABC nhọn, có độ dài các cạnh là a,b,c. P là nửa chu vi. CMR: $\sum_{cyc} (a+b)\sqrt{ab(p-a)(p-b)}\le 3abc $ |
Trích:
$\sum {(2x + y + z)\sqrt {yz(x + y)(x + z)} } \le 3(x + y)(y + z)(z + x) $ Theo BDT AM-GM, có: $(2x + y + z)\sqrt {yz(x + y)(x + z)} \le \frac{{(2x + y + z)(2yz + xy + xz)}}{2} $ Nên $ VT \le \sum {\frac{{(2x + y + z)(2yz + xy + xz)}}{2} $ $ \le \frac{{8xyz + 5(x + y)(y + z)(z + x)}}{2} \le 3(x + y)(y + z)(z + x) $ |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:29 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.