IMO 2010
 

Mình mới thấy bên mathlinks có 2 bài trong đề thi của ngày thứ nhất, xin cập nhật cho các bạn xem thử!
* Ngày thi thứ nhất:
Bài 1:
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ thỏa mãn với mọi $x,y\in \mathbb{R} $ thì:
$f\left ( \left [ x \right ]y \right )=f(x).\left [f(y) \right ] $
trong đó $\left [x \right ] $ chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
Bài 3:
Tìm tất cả các hàm số $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} $ thỏa mãn:
$\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right) $
là một bình phương đúng với mọi $m,n\in\mathbb{N} $.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] . Đủ đấy chú. :P

Sao anh hay quá, bên mathlinks vẫn chưa thấy mà anh đã có rồi! Hihi! :))
Để tiện cho mấy bạn thảo luận, em xin phép gửi lại bài hình vào diễn đàn luôn!

Bài 2: Cho tam giác $ABC $ với $I $ là tâm nội tiếp và $\Gamma $ là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng $AI $ cắt $\Gamma $ tại điểm thứ hai là $D $ (khác A). Gọi $E $ là một điểm trên cung $BDC $ của đường tròn $\Gamma $ và $F $ là một điểm nằm trên đoạn $BC $ sao cho $\widehat{BAF}=\widehat{CAE}<\dfrac{1}{2}\widehat{B AC} $.
Chứng minh giao điểm của $EI $ và $DG $ nằm trên $\Gamma $, trong đó $G $ là trung điểm của $IF $.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
Chắc ĐT mình ai cũng lớn hơn hoặc bằng 2 bài:)

Ngày 2:
Pro 4:
$P $ là điềm nằm trong tam giác $ABC $ ($CA $ khác $CB $).$AP,BP,CP $ cắt đường tròn ngoại tiếp$ O $tại $K,L,M $ tương ứng.tiếp tuyến tại $C $của $(O) $cắt $AB $ tại $S. $
CMR nếu $SC=SP $ thì $MK=ML $

Pro 5:[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Pro 6:${a_n} $ là dãy các số thực dương.s là số nguyên dương sao cho
$ a_n $=Max {$ a_k+a_{n-k}|1\leq k\leq {n-1} $}
(với mọi $n>s $)
CMR tồn tại số nguyên dương $l \leq s $ và $N $
để $a_n=a_l+a_{n-l} $ với mọi $n\geq N $
:O

IMO 2010 ...............

Cấu trúc đề năm nay không khác gì năm ngoái nhỉ?Hai bài hình năm nay cũng không khó:)

Đầy đủ 6 bài: [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Mình xin chép lại cái đề theo đúng kí hiệu:
*Ngày thi thứ hai:
Bài 4:
Cho $P $ là một điểm nằm trong tam giác $ABC $ ($CA $ khác $CB $). Các tia $AP, BP, CP $ cắt đường tròn ngoại tiếp $\Gamma $ của tam giác $ABC $ lần lượt tại $K,L,M $. Tiếp tuyến tại $C $của $\Gamma $ cắt đường thẳng $AB $ tại $S $.
Chứng minh rằng: nếu $SC=SP $ thì $MK=ML $.
Bài 5:
Mỗi hộp trong sáu hộp $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6 $ ban đầu chứa một đồng xu. Có hai phép biến đổi dưới đây được chấp nhận:
- Kiểu 1: Chọn một hộp không rỗng $B_j, 1\leq j \leq 5 $, bỏ đi đồng xu ở hộp $B_j $ và thêm hai đồng xu vào hộp $B_{j+1} $.
- Kiểu 2: Chọn một hộp không rỗng $B_k, 1\leq k \leq 4 $, bỏ đi đồng xu ở hộp $B_k $ và hoán đổi số đồng xu có ở hai hộp $B_{k+1} $, $B_{k+2} $ cho nhau (có thể hộp đó rỗng).
Hỏi có tồn tại hay không một dãy hữu hạn các phép biến đổi được chấp nhận trong hai kiểu ở trên sao cho từ các hộp ban đầu sẽ thu được 5 hộp $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5 $ đều rỗng và hộp $B_6 $ chứa đúng $2010^{2010^{2010}} $ đồng xu?
Bài 6:
Cho $a_1, a_2,...a_n $ là một dãy các số thực dương. Gọi s là số nguyên dương thỏa mãn:
$a_n = \max \{ a_k + a_{n-k} \mid 1 \leq k \leq n-1 \} $ với mọi $n > s $.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $\ell \leq s $ và $N $ sao cho:
$a_n = a_{\ell} + a_{n - \ell} $ với mọi $n \geq N $.

Đội tuyển ta làm bài thế nào nhỉ ?

Đề IMO bản tiếng việt (lấy từ trang chủ IMO 2010)

Hôm nào có kết quả thi IMO vậy ?

Hôm trước thầy Nam Dũng có nói là 13/07 là bế mạc thì chắc nay mai là có kết quả thôi!

Mai có KQ chính thức . Trung 4 bài , còn lại 3 bài thì phải !

Hik có chắc không bạn? vì đề này có 3 câu chắc ăn rồi mà? :(