Topic giải bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng tính chất hàm số,đạo hàm.
 

Thưa các bạn/các anh trong diễn đàn,được sự đồng ý của hôm nay em xin lập topic này.Như mọi người đã biết thì phương pháp sử dụng tính chất của hàm số,đạo hàm để giải bất đẳng thức là một phương pháp khá hay,phù hợp với cả cho thi đại học và học sinh giỏi.Với phương pháp này các bài toán trở nên tự nhiên,đơn giản hơn trong các bước biến đổi.Topic này các bạn sẽ đăng bài và đưa ra những cách giải quyết bằng phương pháp hàm số,đạo hàm,nhầm giúp mọi người khoét sâu vào mảng này hơn đạt được kết quả học tập tốt hơn.
Các bạn đăng bài nhớ đánh số bài theo thứ tự
Rất mong nhận được sự tham gia trao đổi của các bạn,các anh chị
Sau đây mình xin mở đầu bằng 1 bài toán .Bài toán như sau:

Bài 1:Cho a,b,c là ba số thực không âm đội một khác nhau,tim min của P:


Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \} $.Khi đó ta có $a-c\leq a $,$b-c\leq b $.Suy ra:

$P\geq \left [ (a+b)^2+b^2+a^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right ] $

$=\frac{2(a^2+b^2+ab)}{a^2-2ab+b^2}+\frac{2(a^2+ab+b^2)}{a^2}+\frac{2(a^2+ab+ b^2)}{b^2} $

$=2\left [ \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1}{\frac{a}{b}+\frac {b}{a}-2}+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )^{2}+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right ) \right ] $

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t,t> 2 $.
Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1}{t-2}+t^2+t $
có $f'(t)=\frac{-3}{(t-2)^2}+2t+1=0\Leftrightarrow 2t^3-7t^2+4t+1=0 $ do $t> 2 $ ta chỉ nhận nghiệm $t=\frac{5+\sqrt{33}}{4} $
Lập bảng biến thiên ta nhận được $minf(t)=\frac{59+11\sqrt{33}}{8} $ $\Rightarrow minP=\frac{59+11\sqrt{33}}{4} $
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}
c=0\\
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5+\sqrt{33}}{4}
\end{matrix}\right. $ và các hoán vị.

Nhận xét với bài toán trên thật rất khó để dự đoán điểm rơi thì việc ta giải quyết nó bằng đạo hàm sẽ làm cho bước đi của ta tự nhiên hơn rất nhiều mà không cần dủng đến những bất đẳng thức phụ phức tạp khác.

Bài 2: Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 1;3 \right ] $ và $x+y+2z=6 $.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

Từ giả thiết ta có: $4xy=4(3-z)^2-(x-y)^2 \le 4(3-z)^2 \Rightarrow xy \le (3-z)^2$.

Ta lại có: $(x-1)(y-1) \geq 0 \Rightarrow xy \geq x+y-1 = 5-2z \Rightarrow 5-2z \le xy \le (3-z)^2$.

Mặt khác ta có: $2z=6-x-y \le 4 \Rightarrow z \in[1;2]$.

Ta có: $P=(x+y)[(x+y)^2-3xy]+5z^3=2(3-z)[4(3-z)^2-3xy]+5z^3$

Vì $5-2z \le xy \le (3-z)^2 \Rightarrow 2(3-z)^3+5z^3 \le P \le 2(3-z)[4(3-z)^2+6z-15]+5z^3$, với $z \in[1;2]$.

$\Leftrightarrow 2(3-z)^3+5z^3 \le P \le -3z^3+60z^2-150z+126$, với $z\in[1;2]$

Đặt $f(z)=2(3-z)^3+5z^3 , g(z)=-3z^3+60z^2-150z+126$.

Xét hàm số $f(z), g(z)$ trên $\in[1;2]$ ta có $Min f(z)=210-60 \sqrt{10}$ tại $z=-2+ \sqrt{10} \Rightarrow x=y=5- \sqrt{10}$ và

$Max g(z)=42$ tại $z=2 \Rightarrow x=y=1$.

Vậy $MaxP=42$ khi $x=y=1, z=2$.

$MinP=210-60 \sqrt{10}$ khi $x=y=5- \sqrt{10}, z=-2+ \sqrt{10}$.

Mình nghĩ mỗi người giải bài toán xong nếu có thêm lời bình thì sẽ rút thêm được nhiều kinh nghiệm :))

Mình có hướng giải như sau,hơi khác bạn khanhphuong,nhưng cái này là theo ý tưởng của mình.Ta chia 2 trường hợp để làm cho nhẹ.
Trường hợp thứ nhất ta đi tìm max:

Ta có $1\leq x,y\leq 3$ suy ra $x^2\leq 4x-3\Rightarrow x^3\leq 13x-12$ tương tự ta có $y^3\leq 13y-12$

Với $z$ ta xử lí như sau do $x+y+2z=6$ mà $1\leq x,y\leq 3$ nên $1\leq z\leq 2$ suy ra $z^2\leq 3z-2 \Rightarrow z^3 \leq 6z-4$

Như vậy ta sẽ có $x^3+y^3+5z^3\leq 13(x+y+2z)+9z-54\leq 13.6+9.2-54=42$ đẳng thức xảy ra khi $a=b=1,c=2$

Trường hợp tìm min:
Ta có $P\geq \frac{(x+y)^3}{4}+5z^3=\frac{(6-2z)^3}{4}+5z^3=3z^3+18z^2-54z+54$

Khảo sát hàm số $f'(z)=3z^3+18z^2-54z+54$ trên đoạn $\left [ 1;2 \right ]$ ta sẽ nhận được

$MinP=210-60 \sqrt{10}$ khi $x=y=5- \sqrt{10}, z=-2+ \sqrt{10}$

Nhận xét:Thông thường với một bài toán bất đẳng thức thì điểm rơi của nó chỉ đẹp ở một chiều min,hoặc max,điểm rơi nhận được rất xấu sẽ giúp ta nảy lên ý tưởng "à!thế là bài này có thể giải bằng phương pháp đạo hàm,hàm số"
Rõ ràng có rất nhiều ý tưởng để đi chứng minh một bài toán,dù là cùng phương pháp vẫn có các cách khác nhau.Mình mong mọi người cùng tham gia nhiều hơn để khoét sâu vào mảng này,giúp ta có nhiều ý tưởng hơn khi làm bài!:!:-x:pikachu:

Bài 3:Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$a^2+b^2+c^2+abc \ge 4$$
------------------------------
Sữa lại đi bạn x,y,z rồi a,b,c :ops:
$x^3+y^3+5z^3\leq 13(a+b+2c)+9c-54\leq 13.6+9.2-54=42$

[QUOTE=nguoibimat;175820]Bài 3:Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$a^2+b^2+c^2+abc \ge 4$$
------------------------------

Đặt $P=a^2+b^2+c^2+abc$
Từ giả thiết ta có $0 \le ab \le \dfrac{(3-c)^2}{4}$.
Ta lại có $c \in[0;3]$.
Ta có $P=(3-c)^2+c^2-ab(2-c)$.
Với $0 \le ab \le \dfrac{(3-c)^2}{4} \Rightarrow \dfrac{1}{4}(c^3-3c+18) \le P \le 2c^2-6c+9$.
Đặt $f(c)=\dfrac{1}{4}(c^3-3c+18), g(c)=2c^2-6c+9$.
Khảo sát hàm số $f(c)$ và $g(c)$ trên $ [0;3]$.
Ta có Min$f(c)=4$ tại $c=1$, Max$g(c)=9$ tại $c=0$ hoặc $c=3$.
Vậy Min$P=4$ khi $a=b=c=1.$
Max$P=9$ khi bộ $(a;b;c)$ là $(0;0;3)$ và các hoán vị.

Giả sử $c=\max \{a,b,c\}$. Suy ra $1\le c\le 3$. Lúc đó
Nếu $c\ge 2$ thì $$a^2+b^2+c^2+abc \ge c^2\ge 4$$
Ngược lại, nếu $1\le c\le 2$ thì
\[\begin{aligned}a^2+b^2+c^2+abc &=(a+b)^2+c^2+(c-2)ab\ge (a+b)^2+c^2+\dfrac{1}{4}(c-2)(a+b)^2\\ &=(3-c)^2+c^2+\dfrac{1}{4}(c-2)(3-c)^2= \dfrac{1}{4}(c-1)^2(c+2)+4\ge 4\end{aligned}\]

Mình góp ý tí nhé:Nếu có thể thì các bạn đưa ra lời nhận xét của mình sau mỗi bài mình làm về bài tập đó,phương pháp,hướng đi đó như vậy sẽ giúp các bạn đọc dễ hình dung ra hướng đi hơn mà các bạn cũng không mất nhiều thời gian cho lắm

Ủng hộ bạn một bài. :)
Bài 4. Cho $ x, y, z $ là các số thực thỏa mãn $ 1 \le x, y, z \le 4 $ và $ x=\max(x, y, z) $. Tìm GTNN của:
$$ N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}. $$

Đầu tiên ta có BDT sau:
Nếu $ab \geq 1$ thì $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{1+ab}$
Trở lại bài toán:
Ta đặt $a=\frac{y}{x}$ , $b=\frac{z}{y}$ , $c=\frac{x}{z}$, suy ra $a,b,c>0$ và $abc=1$, BDT trở thành:
$N=\frac{1}{2+3a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$
Do $bc=\frac{x}{y} \geq 1$ nên ta suy ra:
$\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \geq \frac{2}{1+/sqrt{bc}}$
Ta tiếp tục đặt $t=\sqrt{bc}$ , theo điều kiện ban đầu đề ta suy ra $t \in [1;2]$. Từ đó bài toán trở thành việc tìm GTNN của :
$N=\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}$ với $t \in [1;2].$
Bằng cách xét hàm ta tìm ra $minN=\frac{34}{22}$, xảy ra khi và chỉ khi $t=2=\sqrt{bc}$ và $b=c$ tức $\frac{x}{y}=4$ và $\frac{x}{z}=\frac{z}{y}$. Kết hợp với điều kiện ban đầu bài toán ta suy ra $x=4,y=1$ và $z=2$

Đặt $y=ax, z=bx \Rightarrow a,b \in[ \dfrac{1}{4};1]$
Biểu thức được viết lại $N= \dfrac{1}{2+3a}+ \dfrac{a}{a+b}+ \dfrac{b}{b+1}$.
$ \Rightarrow N'(b)=- \dfrac{a}{(a+b)^2}+ \dfrac{1}{(b+1)^2}$.
$N'(b)=0 \Rightarrow (a+b)^2-a(b+1)^2=0 \Leftrightarrow (1-a)(b^2-a)=0 \Rightarrow b= \sqrt{a}$
vì $b,a \in[ \dfrac{1}{4};1] \Rightarrow$ Min$N(b)=N( \sqrt{a})= \dfrac{1}{2+3a}- \dfrac{2}{1+ \sqrt{a}}+2$.
Đặt $t= \sqrt{a} \Rightarrow t \in[ \dfrac{1}{2};1]$
Xét hàm $N(t)=\dfrac{1}{2+3t^2}- \dfrac{2}{1+t}+2$
Ta có $N'(t)=- \dfrac{6t}{(2+3t^2)^2}+ \dfrac{2}{(1+t)^2}$
$N'(t)=0 \Leftrightarrow 2(2+3t^2)^2-6t(1+t)^2=0 \Leftrightarrow 18t^4-6t^3+12t^2-6t+8=0$. Vì $t \in[ \dfrac{1}{2};1] \Rightarrow 18t^4-6t^3+12t^2-6t+8>0 \Rightarrow N'(t)>0$ với mọi $t \in[ \dfrac{1}{2};1]$.
$ \Rightarrow N(t) \geq N( \dfrac{1}{2})= \dfrac{34}{33}$
Vậy Min$N= \dfrac{34}{33}$ khi $t= \dfrac{1}{2}$ hay $a= \dfrac{1}{4}, b= \dfrac{1}{2}$ hay $y= \dfrac{x}{4}, z= \dfrac{x}{2} \Rightarrow x=4,y=1,z=2$.

Đây là Câu V trong đề thi tuyển sinh ĐH khối A năm 2011. [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] tập hợp được 6 cách giải cho bài này. :gach:

Bình luận cá nhân của mình thì các bài trong đây khá là khó, mình nghĩ các bạn cũng nên đưa bài khó bài dễ (là những bài phù hợp với thi ĐH) xen lẫn nhau cho thêm nhiều người hưởng ứng vì mình thấy phương pháp này khá hay và hoàn toàn phù hợp để giải những câu khó nhất trong thi ĐH. :Secretsmile:

Mình cũng nghĩ như bạn , nên đưa các câu phù hợp với đề thi Đại Học, và khi giải nên nêu ra hướng giải cũng như lời bình về nó để mọi người đúc kết, có lợi rất nhiều cho người giải bài khi mình giảng mà người ta hiểu :)

Bài 5: Cho $x,y\geq 1 $ thoả $3(x+y)=4xy $ . Tìm min, max của $P $: