Ước chung lớn nhất
 

Cho $a,b $ là hai số nguyên tố cùng nhau.$CMR $
$gcd(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b)=1 $ hoặc $n $

Gọi $p_i (i=\overline{1,k}) $ là các ước nguyên tố của $a-b $ và $p_i^{\alpha_i} || a-b;p_i^{\beta_i} || n (i=\overline{1,k}) $.Theo bổ đề Hensel thì $p_i^{\alpha_i + \beta_i} || a^n-b^n \Rightarrow (\dfrac{a^n-b^n}{a-b},a-b) = (n,a-b) $

Đặt $ a-b=k , a \equiv b \equiv m (mod k) $ Do $ (a,b)=1 \Rightarrow (m,k)=1 $
Ta có: $ \frac{a^n-b^n}{a-b} \equiv n.m^{n-1} (mod k) $
Vì $ (m,k)=1 $ nên $ (\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b)=(n.m^{n-1},k)=(n,k) $