Hàm ẩn qua điều kiện cực trị
 

Tìm hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ biết
\[f(x)=\mathop {\max }\limits_{y \in \mathbb R} \left\{ {xy - f\left( y \right)} \right\}\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]

Cố định một giá trị $x$ bất kỳ, ta có $f(x)\ge xy-f(y)\;\forall\,y\in\mathbb R$, vì thế với $y=x$ có
\[f\left( x \right) \ge {x^2} - f\left( x \right).\]
Như vậy $f(x)\ge\frac{1}{2}x^2\;\forall\,x\in\mathbb R$. Bây giờ nếu tồn tại $x\in\mathbb R$ sao cho $f(x)>\frac{1}{2}x^2$, ta có
\[xy - f\left( y \right) \le xy - \frac{1}{2}{y^2} = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} \le \frac{1}{2}{x^2} < f\left( x \right)\quad\forall\,y\in\mathbb R.\]
Điều đó chứng tỏ không thể xảy ra $f(x)=\mathop {\max }\limits_{y \in \mathbb R} \left\{ {xy - f\left( y \right)} \right\}$.

Tóm lại $f(x)=\frac{1}{2}x^2\;\forall\,x\in\mathbb R$.