Đánh giá với dãy số dương
 

Cho $\alpha$ là một số thực dương thỏa mãn $\alpha <e$ và dãy các số thực dương $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb N^*}$, chứng minh rằng tồn tại vô số $n\in\mathbb N^*$ sao cho\[{x_{n + 1}} > {x_n}\sqrt[n]{\alpha}-1.\]

Phản chứng thử xem. Giả sử chỉ có hữu hạn số $n$ để ${x_{n + 1}} > \sqrt[n]{\alpha }{x_n} - 1$. Khi đó, tồn tại $n_0$ to thiệt là to sao cho
\[{x_{n + 1}} \leqslant \sqrt[n]{\alpha }{x_n} - 1,\,\forall n \geqslant {n_0}.\]
Khi đó, ta có
\[\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {x_{n + 1}} \leqslant \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } \left( {\sqrt[n]{\alpha }{x_n} - 1} \right).\]
Từ đây, ta có
\[L \leqslant L - 1,\]
với $L = \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {x_{n + 1}}$. Điều này là vô lý. Vậy phải có vô số $n$ để ${x_{n + 1}} > \sqrt[n]{\alpha }{x_n} - 1$.