Hàm ẩn qua điều kiện cực trị Tìm hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ biết \[f(x)=\mathop {\max }\limits_{y \in \mathbb R} \left\{ {xy - f\left( y \right)} \right\}\quad\forall\,x\in\mathbb R.\] |
Trích:
\[f\left( x \right) \ge {x^2} - f\left( x \right).\] Như vậy $f(x)\ge\frac{1}{2}x^2\;\forall\,x\in\mathbb R$. Bây giờ nếu tồn tại $x\in\mathbb R$ sao cho $f(x)>\frac{1}{2}x^2$, ta có \[xy - f\left( y \right) \le xy - \frac{1}{2}{y^2} = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} \le \frac{1}{2}{x^2} < f\left( x \right)\quad\forall\,y\in\mathbb R.\] Điều đó chứng tỏ không thể xảy ra $f(x)=\mathop {\max }\limits_{y \in \mathbb R} \left\{ {xy - f\left( y \right)} \right\}$. Tóm lại $f(x)=\frac{1}{2}x^2\;\forall\,x\in\mathbb R$. |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:46 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.