[IMO 2012] Bài 6 - Số học
 

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên không âm $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn
$$ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1 $$

Gọi $n $ là tốt nếu $n $ thỏa mãn bài toán.
Ta chứng minh một số tính chất sau:

1. $n\equiv 1, 2 \pmod 4 $

Thật vậy, viết bài toán dạng $\sum\limits_{k=1}^{n}2^{a-a_{k}} = 2^{a} $ và $\sum\limits_{k=1}^{n}k.3^{a-a_{k}} = 3^{a} $ với $a = \max\{a_{k}\} $

Ta có $\sum\limits_{k=1}^{n}k\equiv \sum\limits_{k=1}^{n}k.3^{a-a_{k}} = 3^{a}\equiv 1\pmod 2 $, do đó $n\equiv 1, 2 \pmod 4 $.

2. Nếu $n $ thỏa mãn bài toán và $n $ lẻ thì $n+1 $ cũng thỏa mãn bài toán.

Chứng minh:

Vì $n $ lẻ nên $j = (n+1)/2 $ là số nguyên dương.

Đặt dãy mới như sau:

$(b_1,...,b_{n+1}) = (a_1,a_2,..,a_{j-1},a_{j}+1,a_{j+1}...,a_{n},a_{n+1} = a_{j}+1) $

Dễ thấy $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2^{b_k}} = 1 $ và $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{k}{3^{b_k}} = 1 = \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{3^{a_k}} - \frac{3j}{3^{a_j}} + \frac{3j}{3^{a_j+1}} + \frac{3(n+1)}{3^{a_j+1}} = 1 +\frac{3j+3n+3}{3^{a_j+1}} - \frac{3j}{3^{a_j}}= 1 $.

3. Nếu $n = 8l-2 $ thỏa mãn thì $n+3 $ cũng thỏa mãn.

Chứng minh như trên. Lặp dãy mới bằng cách chọn $j = (3n+6)/8 $ và thay $a_j $ bởi $a_{j}+2 $, thêm $a_{n+1},...,a_{n+3} = a_{j}+2 $.

4. Nếu $n + 2 = 3j $ và $n $ thỏa mãn thì $n+3 $ cũng thỏa mãn.

Bài 6 của IMO mà lại giải dựa vào các hằng đẳng thức "trời ơi" như vậy thì mình thấy ko thích lắm +_+ Hy vọng đội tuyển Việt Nam có người làm được :D Theo thông tin hành lang thì phần sau của bài 3 rất là khó, nên nếu làm 1, 2, 3.1, 4, 5, 6 là dư sức Vàng :sexygirl:

Trong đề chọn đội tuyển của TQ năm nay có khoảng 3, 4 bài theo dạng này (tồn tại số n sao cho...), các bước xây dựng kiểu này mất nhiều thời gian, làm không quen tay là ngồi mấy ngày, mấy tuần mới hy vọng ra được.

Theo thông tin hành lang của em thì có vẻ năm nay làm được 5.5/6 mới chắc ăn có HCV nhỉ. :-<

À đấy chỉ là một cái chặn trên rất là rộng của em nghĩ ra thôi ạ :P

Các anh có thể cho em biết ý tưởng để xây dựng được n như trên không ạ.

Trước hết, lời giải trên kia chưa đầy đủ và còn nhiều trường hợp $n = 8l+2 $ tốt cần phải giải quyết. Tuy nhiên trâu bò sẽ ra.

Ý tưởng thì cũng khá tự nhiên. Sau khi đoán được $n\equiv 1,2\pmod 4 $ thì ý nghĩ sẽ là xây dựng dãy. Tuy nhiên ta thấy chính vế phải với các số hạng $\frac{k}{3^{a_k}} $ làm cho việc xây dựng dãy phức tạp nếu ta thay đổi nhiều $a_{k} $ một lúc. Do đó ta thử thay một $a_{k} $ bởi 2 số $a_{k}+1 $. Vấn đề là vị trí của 2 số này ở đâu, khi ta không muốn xáo trộn vị trí của các số còn lại. Cách đơn giản nhất là giữ một $a_{k}+1 $ tại vị trí của $a_{k} $ còn số còn lại thì cho vào vị trí cuối cùng là $n+1 $. Tính điều kiện một tí cho $k $ ta sẽ có $n $ phải lẻ.

Từ bước đầu tiên đó ta có thể xây dựng các bước phức tạp hơn bằng cách sử dụng $1 = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4; 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8,... $