Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Tổ Hợp (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=42)
-   -   Đếm bằng hai cách. (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=51632)

hung.vx 28-01-2018 11:24 AM

Đếm bằng hai cách.
 
Chứng minh rằng
$$\sum\limits_{k=1}^{n} \binom {2n-k} {n} = \binom {2n} {n-1}.$$


Kosovo Mathematical Olympiad 2018

Thụy An 31-01-2018 03:24 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hung.vx (Post 213079)
Chứng minh rằng
$$\sum\limits_{k=1}^{n} \binom {2n-k} {n} = \binom {2n} {n-1}.$$


Kosovo Mathematical Olympiad 2018

Xuất phát từ hai đồng nhất thức quen thuộc
\[\left( \begin{array}{c}
m\\
k
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
m - 1\\
k
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
m - 1\\
k - 1
\end{array} \right) =\binom {m} {m-k} .\]
Ta có
\[\begin{array}{l}
\left( \begin{array}{c}
2n\\
n - 1
\end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c}
2n - 1\\
n - 1
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
2n - 1\\
n - 2
\end{array} \right)\\
&= \left( \begin{array}{c}
2n - 1\\
n - 1
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
2n - 2\\
n - 2
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
2n - 2\\
n - 3
\end{array} \right)\\
& = \left( \begin{array}{c}
2n - 1\\
n - 1
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
2n - 2\\
n - 2
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
2n - 3\\
n - 3
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
2n - 3\\
n - 4
\end{array} \right)\\
&= ...\\
& = \left( \begin{array}{c}
2n - 1\\
n - 1
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
2n - 2\\
n - 2
\end{array} \right) + ... + \left( \begin{array}{c}
n\\
0
\end{array} \right)\\
&= \left( \begin{array}{c}
2n - 1\\
n
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
2n - 2\\
n
\end{array} \right) + ... + \left( \begin{array}{c}
n\\
n
\end{array} \right).
\end{array}\]

namdung 01-02-2018 06:48 PM

Chú ý $C_{2n}^{n-1}=C_{2n}^{n+1}$. Từ đó sẽ tìm ra cách chứng minh đẳng thức trên bằng phép đếm.


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:19 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2020, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 5.51 k/5.85 k (5.87%)]