Bài số học khó
 

Có ai giúp mình với, không suy nghĩ ra cách giải.

1. Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố dạng 4k+3 và q=2p+1 cũng là số nguyên tố thì $q | M_p $ với $M_p = 2^p - 1 $
2. Chứng minh $47 | M_{11} $

Đây là kiến thức về số chính phương mod $p $
Vì $p = 4k +3 $ nên $q = 8k +7 \Rightarrow (\frac{2}{q}) = 1 \Rightarrow 2^{\frac {q-1}{2}} \equiv 1 (q) \Rightarrow q | 2^p -1 $
Mình dùng máy tính thì thấy $2^{11} -1 $ đâu có chia hết cho $47 $

Bài này mình thấy có thể giải bằng cách dùng các định lí quen thuộc thế này: :)
Do $q=2p+1 $ là số nguyên tố nên theo định lí Euler: $2^{\varphi (q)}\equiv 1(modq) $.
Hơn nữa: $\varphi (q)=q-1=2q $, suy ra:
$2^{2p}\equiv 1(modq)\Rightarrow (2^{2p}-1)\vdots q\Rightarrow (2^p-1)(2^p+1)\vdots q $.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh $2^p+1 $ không chia hết cho $2p+1 $. Thật vậy:
Giả sử ngược lại, tồn tại h nguyên dương sao cho $2^p+1=h(2p+1) $, dễ thấy:
$2^p=2^{4k+3}=8.16^k\equiv 2(mod3)\Rightarrow 2^p+1\vdots 3 $, do đó h chia hết cho 3.
Theo định lí Fermat nhỏ thì: $2^p - 2 $ chia hết cho p, đặt
$2^p-2=m.p\Rightarrow 2^p=mp+2 $, ta cũng có m chia hết cho 3; ta được:
$h(2p+1)-1=mp+2\Leftrightarrow p(2h-m)+h=3 $.
Do p là số nguyên tố có dạng $4k+3 $ nên $p \ge 3 $, từ đó suy ra đẳng thức trên không thể xảy ra, tức là: $2^p+1 $ không chia hết cho $2p+1 $ hay $2^p-1 $ chia hết cho q. Ta có đpcm.

Câu 2 có thể là 1 ứng dụng trực tiếp của câu 1 nhưng cần phải có là:
$47|M_{23} $ hoặc $23|M_{11} $ chứ không phải là $47|M_{11} $.