RMO District Round, Bucharest 2008, 11th Grade
 

Consider a sequence of reals $ (a_n){ n \geq 0 } , q \in (-1,1)\{0} $ and
$x_n = \sum_{k=0}^n a_k.q^k , \forall n \geq 1 $
a) Prove that if $(a_n){ n \geq 0} $ is bounded, than $(x_n){ n \geq 0 } $ converges.
b) Exhibit an unbounded sequence $(a_n){ n \geq 0 } $ for which $(x_n){ n \geq 0 } $ converges.

câu đầu có vẻ dễ nhỉ, đánh giá cái trị tuyệt đối của $x_n $ là đc, chú ý $q $ và sự hội tụ của chuỗi cấp số nhân. Câu sau có vẻ củ chuối nhưng cũng dễ thôi

Bác mọt viết cụ thể ra chứ ? Bác là mod thì phải gương mẫu chứ :D :matrix:

câu đầu tiên nhé, vì dãy $a_n $ bị chặn nên tạm giả thiết $a_n \leq M $ với mọi $n $ nhé.

Tiếp theo ta thấy

$\left| {x_n } \right| \leq M\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\left| q \right|^n } = \frac{M}{{1 - \left| q \right|}} $

vậy là xong nhé :secretsmile:

thực ra đây là một bài về chuỗi số hơn là 1 bài về dãy số, ở bài chuỗi này ta đã sử dụng dấu hiệu so sánh về sự hội tụ và 1 tính chất: chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ...