Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Các Bài Toán Đã Được Giải (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=107)
-   -   Topic về bất đẳng thức (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=12995)

353535 20-08-2010 10:21 AM

Topic về bất đẳng thức
 
1) Cho $a \ge 4;b \ge 5 ; c \ge 6 $ và $a^2+b^2+c^2=90 $.tìm MIN của: a+b+c
2) Cho 3 số dương a,b,c có a+b+c=1.Tìm MAX của:
$A=ab+ac+bc+ \frac{5}{2}[(a+b)\sqrt{ab}+(b+c)\sqrt{bc}+(c+a)\sqrt{ca}] $

khanh.kid 20-08-2010 08:05 PM

Một bài bất đẳng thức
 
Cho x,y,z>0,xyz=1
c/m
$18( \frac{1}{x^3 +1}+\frac{1}{y^3 +1}+\frac{1}{z^3 +1}) \le (x+y+z)^3 $

novae 20-08-2010 08:08 PM

điều kiện giữa x, y, z là gì?

khanh.kid 20-08-2010 08:12 PM

à em quên xyz=1

trungthptpb 20-08-2010 10:02 PM

Bất đẳng thức
 
Cho x+y+z=6 và x, y, z>0. CMR $8^x+8^y+8^z \ge 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1} $

học gõ Latex tại đây: [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

shinomoriaoshi 20-08-2010 10:44 PM

Bài này thì theo mình là đặt $a=2^x; b=2^y; c=2^z $ rồi dùng điểm rơi Côsi

huynhcongbang 21-08-2010 01:43 AM

Trích:

Nguyên văn bởi trungthptpb (Post 63055)
Cho x+y+z=6 và x, y, z>0. CMR $8^x+8^y+8^z \ge 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1} $

Bài này hình như trước đây có trong cuốn "Bộ đề tuyển sinh" của Bộ GD-ĐT, cũng từng được dùng làm đề thi ở nhiều nơi rồi. Một bài rất quen thuộc!
Như ý giải của bạn shinomoriaoshi ở trên, mình tiếp 1 chút như sau:
Sau khi đặt như thế thì điều kiện đã cho viết lại là:
$a,b,c>0, 2^{x+y+z}=64\Leftrightarrow abc=64 $.
Cần chứng minh rằng:
$a^3+b^3+c^3 \ge 4(a^2+b^2+c^2) $.
Ta có:
$a^3+a^3+64 \ge 3.\sqrt[3]{64a^6}=12a^2\Leftrightarrow a^3+32 \ge 6a^2 $.
Tương tự cho các đánh giá với b, c. Cộng lại theo từng vế, ta được:
$a^3+b^3+c^3+96 \ge 6(a^2+b^2+c^2) $.
Hơn nữa:
$2(a^2+b^2+c^2)\ge 6.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=6.\sqrt[3]{64^2}=96 $.
Tiếp tục cộng hai BĐT này lại, ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=4 $ hay $x=y=z=2 $.

Messi_ndt 21-08-2010 04:51 PM

Trích:

Nguyên văn bởi khanh.kid (Post 63038)
Cho x,y,z>0,xyz=1
c/m
$18( \frac{1}{x^3 +1}+\frac{1}{y^3 +1}+\frac{1}{z^3 +1}) \le (x+y+z)^3 $

Thay 1 bởi abc trên tử của vế trái để BDT thuân nhất. Đặt bút phấn tích tổng các bình phương thì có ngay $S_a,S_b,S_c >0 $

Thanh vien 21-08-2010 11:36 PM

Trích:

Nguyên văn bởi khanh.kid (Post 63038)
Cho x,y,z>0,xyz=1
c/m
$18( \frac{1}{x^3 +1}+\frac{1}{y^3 +1}+\frac{1}{z^3 +1}) \le (x+y+z)^3 $

Ta có Vế trái:
$\\\le9\left(\frac1{x\sqrt x}+\frac1{y\sqrt y}+\frac1{z\sqrt z}\right)\\=9\left[(\sqrt{yz})^3+(\sqrt{zx})^3+(\sqrt{xy})^3\right] $

Cần chứng minh $9\left[(\sqrt{yz})^3+(\sqrt{zx})^3+(\sqrt{xy})^3\right]\le(x+y+z)^3 $. Đặt căn cho mất căn đi thì thành:
$(a^2+b^2+c^2)^3\ge9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) $
Cái này S.O.S ra chắc đúng :D

truytimmattroi 22-08-2010 08:40 AM

Bất đẳng thức
 
Mình có bài này muốn nhờ các bạn giúp đỡ::-<
Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với mọi n nguyên dương ta có:
{n$\sqrt{3} $}$\ge $$\frac{k}{n\sqrt{3}} $

NHTRANG 22-08-2010 09:07 AM

Ta có bđt <=> n$\sqrt{3} $ - $\frac{k}{n\sqrt{3}} $
$\ge $[n$\sqrt{3} $]
<=>3$n^2 $+$\frac{k^2}{3n^2} $ - 2k $\ge $${[n\sqrt{3}]}^2 $
Thấy với mọi n thì 3$n^2 $ và 3$n^2 $-1 đều không là số cp. Nhưng tồn tại vô số n để 3$n^2 $-2 là scp. Do đó nếu k>1 thì tồn tại n đủ lớn để 3$n^2 $+$\frac{k^2}{3n^2} $ - 2k<3$n^2 $-2 =${[n\sqrt{3}]}^2 $
Vạy k$\le $1.Dễ thấy k=1 luôn t/m =>k=1 là gtrị cần tìm

novae 22-08-2010 09:15 AM

Trích:

Nguyên văn bởi NHTRANG (Post 63141)
$3 n^2-2 ={[n\sqrt{3}]}^2 $

lời giải sai ở chỗ này, vd cho n=14 thì $3n^2-2=586; {[n\sqrt{3}]}^2=24^2=576 $
đáp số đúng hình như là $\sqrt3(\sqrt3-1) $

maththunder 22-08-2010 09:18 AM

Một bài tìm điểm rơi
 
Cho : x;y;z thực
$xy + yz + 3zx = 1 $
Tìm min:
$x^2 + y^2 + z^2 $

crystal_liu 22-08-2010 09:28 AM

Trích:

Nguyên văn bởi NHTRANG (Post 63141)
Ta có bđt <=> n$\sqrt{3} $ - $\frac{k}{n\sqrt{3}} $
$\ge $[n$\sqrt{3} $]
<=>3$n^2 $+$\frac{k^2}{3n^2} $ - 2k $\ge $${[n\sqrt{3}]}^2 $
Thấy với mọi n thì 3$n^2 $ và 3$n^2 $-1 đều không là số cp. Nhưng tồn tại vô số n để 3$n^2 $-2 là scp. Do đó nếu k>1 thì tồn tại n đủ lớn để 3$n^2 $+$\frac{k^2}{3n^2} $ - 2k<3$n^2 $-2 =${[n\sqrt{3}]}^2 $
Vạy k$\le $1.Dễ thấy k=1 luôn t/m =>k=1 là gtrị cần tìm

Bài sai chỗ lý luận cuối chỗ n đủ lớn ấy ,xem lại nhé :d

NHTRANG 22-08-2010 09:38 AM

Trích:

Nguyên văn bởi novae (Post 63142)
lời giải sai ở chỗ này, vd cho n=14 thì $3n^2-2=586; {[n\sqrt{3}]}^2=24^2=576 $
đáp số đúng hình như là $\sqrt3(\sqrt3-1) $

Xét dãy ($x_0;y_0 $)=(1,1); ($x_{k+1};y_{k+1} $)=$2x_k +3y_k ; x_k+2y_k $
Dãy tren tăng vô hạn và mọi số hạng của dãy đều t/m3$y^2 $-2=$x^2 $ (=> x=[y$\sqrt{3} $]
Do đó có thể nói tồn tại n đủ lớn để 3$n^2 $-2 là số chính phuơng và2k>2+$\frac{k^2}{3n^2} $. Giá trị đó của n sễ không t/m bài toán.:(
Do vậy khi k>1(bao gồm cả$\sqrt3(\sqrt3-1) $) sẽ không được.


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:30 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 17.90 k/19.25 k (7.03%)]