giới hạn
 

chứng minh dãy $\{u_n\} $ không có giới hạn
với $u_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{n} $

Xét dãy $x_n = u_n - \ln n $
Xét $x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n + 1} - \ln(1 + \frac{1}{n}) $
Dễ dàng chứng minh: $\frac{1}{n + 1} < \ln (1 + \frac{1}{n}) < \frac{1}{n} $
Suy ra: $\frac{1}{n + 1} - \ln (1 + \frac{1}{n}) < 0 $
Nên: $x_{n + 1} - x_n < 0 $
$u_n - \ln n < u_{n + 1} - \ln (n + 1) $
Hay: $u_n < u_{n + 1} - \ln (1 + \frac{1}{n}) < u_{n + 1} $
Suy ra dãy ${u_n} $ phân kỳ.

Anh vẫn chưa hiểu tại sao chú lại suy ra được "dãy phân kỳ":hornytoro:

Em làm thế này có được ko ạ
Có lẽ cách CM cũng gần giống:
Xét hàm số $f(x)=\ln x $
Theo định lí Lagrange ta có
xét mỗi khoảng $(n;n+1) $ sẽ tồn tại $k\in (n;n+1) $ sao cho
$f'(k)=\frac{f(n+1)-f(n)}{n+1-n} $
Tức là sẽ có số $k\in (n;n+1) $ sao cho $\frac{1}{k}=\ln (n+1) -\ln n $
Tức là $\ln (n+1) -\ln n<\frac{1}{n} $
Như vậy ta có
$\ln (n+1) -\ln n<\frac{1}{n} $
$\ln (n) -\ln (n-1)<\frac{1}{n-1} $
.....
$\ln 2-ln1<1 $
Cộng các vế với nhau ta có
$\ln (n+1) -\ln 1< \sum \frac{1}{n} $
Tức là $\lim_{1\to \inft} \sum \frac{1}{n}> \lim_{1\to \inft} \ln n $
Mà $\lim_{1\to \inft} \ln n=+\inft $ do đó chuỗi đã cho phân kì

hình như có cách ko cần sử dụng hàm mũ

Còn 1 cách nữa là dùng Tiêu chuẩn Cauchy:
Nhận xét:
$u_{2n}-u_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+\frac{1}{2n}> \frac{n}{2n}=\frac{1}{2} $
Theo tiêu chuẩn Cauchy thì dãy trên ko tồn tại giới hạn.:hornytoro::hornytoro:

Hình như dãy $u_n -\log n $ hội tụ thì phải :hornytoro:, chú kiểm tra thử xem :))

Phải rồi, hội tụ nên dãy trong đầu bài phân kỳ.

Hix, em vừa mới đi vằng mấy ngày, hôm ý ngồi nhà chuẩn bị bận quá nên post bài quên mất không để ý, phải chứng minh dãy không bị chặn trên nữa :pflaster: