Tìm và trình bày một lời giải như thế nào?
 

Xuất phát từ một đề nghị không chính thức của bạn Khoa (nbkschool): "Có lẽ phải mở một khóa "How to write solution"".
Đề nghị này xuất phát từ vấn đề nóng hổi là: Trong các kỳ thi VMO, VTST, Olympic 30/4 có nhiều bạn có điểm số không như dự đoán.
Bỏ qua vấn đề chấm sai, ta hãy thử tìm nguyên nhân và giải pháp khắc phục. Tại sao các bạn lại được ít điểm hơn trông đợi? Làm sao có thể trình bày bài toán một cách chắc chắn nhất mà vẫn nhanh? Khi bàn đến vấn đề trình bày lời giải, dĩ nhiên là ta không thể bỏ qua vấn đề tìm kiếm lời giải như thế nào, có lời giải thì mới trình bày được chứ.
Do vậy, chủ đề mà tôi muốn đưa ra là "Tìm và trình bày một lời giải như thế nào?". Thực ra, hai vấn đề này có mối liên hệ trực tiếp với nhau. Nếu ta hiểu rõ quá trình đi đến lời giải thì phần trình bày cũng dễ hiểu, chặt chẽ và súc tích. Đây là một chủ đề lớn, có rất nhiều vấn đề cần thảo luận. Dưới đây tôi đưa ra một số câu hỏi:
1) Tiếp cận một bài toán mới như thế nào?
2) Đâu là chiến thuật tối ưu trong một ngày thi (với 5 bài toán, 3 bài toán?)
3) Trình bày một lời giải như thế nào?
4) Khi không giải được một bài toán, làm thế nào để vẫn kiếm được điểm của bài này?
Để tập trung, chúng ta có thể lấy các bài thi VMO và VTST vừa qua để làm ví dụ. Hy vọng chủ đề này sẽ được các bạn hưởng ứng.
Tôi sẽ trình bày chủ đề này tại Seminar các PP toán sơ cấp, tổ chức vào sáng chủ nhật 16/5/2010, từ 7h30-9h30 tại trường PTNK.

tất cả đều dc tham dự phải ko thầy, thế thì tốt quá

Đúng rồi, tất cả đều được chào đón tại seminar.

cuốn " Sáng tạo Toán học " cua Polya. Em thấy nó ghi rất rõ về việc suy nghĩ, làm bài như thế nào đấy.

Bộ ba cuốn sách: 'Giải bài toán như thế nào?", "Toán học và những suy luận có lý" và "Sáng tạo Toán học" của Polya là một bộ sách hay, tôi rất khuyên các bạn trẻ yêu toán đọc và suy ngẫm, các thầy cô giáo trẻ cũng nên nghiên cứu bộ sách này.

Dưới đây tôi xin trích dẫn lời khuyên của A.Kanel-Belov và A.K.Kovaldzi dành cho các bạn thi Olimpic (đây là hai tác giả rất nổi tiếng của Nga, có nhiều bài toán được chọn làm đề IMO).

1. Hãy đọc đề bài tất cả các bài toán và xác định xem các bạn sẽ giải các bài toán theo trình tự nào. Chú ý là thông thường thì các bài toán được sắp xếp theo thứ tự khó dần.

2. Nếu như bài toán, theo ý bạn, có thể theo nhiều nghĩa khác nhau, thì đừng chọn cách dễ nhất cho bạn mà tốt nhất hãy hỏi giám thị.

3. Nếu bài toán được giải một cách quá dễ dàng thì rất đáng ngờ. Có thể bạn hiểu không đúng đề bài hoặc đã sai ở đâu đó.

4. Nếu bạn không giải được bài toán, hãy thử làm đơn giản nó (xét các số nhỏ hơn, xét các trường hợp đặc biệt...) hoặc giải bằng phản chứng, hay thay các số bằng các ký hiệu ...

5. Nếu như không rõ là một khẳng định có đúng không, hãy thử vừa chứng minh, vừa phủ định nó.

6. Đừng dính vào một bài toán: thỉnh thoảng phải rời nó ra và đánh giá tình hình. Nếu có một chút thành tựu thì có thể làm tiếp, còn nếu ý tưởng cứ lòng vòng thì tốt nhất là hãy bỏ bài toán đó (ít nhất là một thời gian).

7. Nếu bạn thấy mệt, hãy nghỉ một vài phút (có thể là ngắm trời mây hoặc đơn giản là ... nghỉ).

8. Nếu giải được bài toán, hãy lập tức trình bày lời giải. Điều này giúp bạn kiểm tra tính đúng đắn của lời giải và giúp bạn tập trung hơn cho các bài toán khác.

9. Mỗi một bước của lời giải đều phải được trình bày, ngay cả khi nó là hiển nhiên. Sẽ rất tiện lợi nếu viết lời giải dưới dạng các bổ đề hoặc nhận xét. Điều này giúp người chấm dễ đọc và dễ cho điểm hơn.

10. Trước khi nộp bài, hãy đọc lại bài làm bằng con mắt của người chấm - họ có hiểu được lời giải của bạn không?

Đây là các lời khuyên hết sức bổ ích. Tôi sẽ lần lượt minh họa các ý trên bằng các ví dụ.

Thế lỗi cẩu thả có cách nào khắc phục không hả thầy?

Thế trong khi thi có nên trình bày ra nháp trước không?Và có nên ghi vào bài thi khi chưa tìm ra lời giải hoàn toàn?Thời gian nào là thích hợp để "rà soát" lại bài thi của mình?Mong các thầy và các bạn giải đáp những câu hỏi này.

Cách đây 4 năm, tôi có dạy 1 cậu học trò ở nhà. Cậu này cũng sáng dạ, chỉ tội là hơi cẩu thả. Tôi đã khuyên cậu này mấy điều sau:
1) Hãy dùng bút mực để viết đẹp hơn
2) Khi cậu ấy sai 1 lỗi, tôi bắt nộp phạt 10K. Nếu trong một buổi học không có lỗi nào --> Tôi trả lại 50K.

Sau 1 thời gian thì cậu ấy ổn. Bây giờ thậm chí còn được nêu gương.

em thường nghe thầy giáo của mình nói về những điều này
Một hsg Toán không chỉ cần có tư duy mà còn cần cả kĩ năng

Nói chung bây giờ học sinh và sinh viên viết lời giải một bài toán hơi dở (nói chung thôi). Nguyên nhân thì có lẽ là nguyên nhân có hệ thống từ cấp 1 cho đến cấp đại học.

Các lời khuyên mà thầy Dũng trích dẫn ở trên rất có ích. 99 xin phép góp thêm kinh nghiệm cá nhân thế nài : Để trình bày bài cho sáng sủa thì nên trình bày theo kiểu diễn dịch, nghĩa là phát biểu ý định chứng minh trước. Sau đó trình bày chứng minh ý đó.

Ví dụ : Ta chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Thật vậy, ..............

Trình bày bài theo kiểu quy nạp thì cần phải khéo léo, ai vụng thì nên tránh :))

Ngoài ra, cần phải học tốt lô-gíc học và ngữ pháp tiếng Việt cho tốt, chịu khó sử dụng các cặp liên từ cho đúng, hạn chế tối đa dùng các dấu $\Longrightarrow $. Giám khảo nói chung không thoải mái lắm với những cái dấu đó.

Có một cách nữa để luyện viết cho tốt đó là đi học ngoại ngữ, cụ thể là học viết những ngôn ngữ có cấu trúc ngữ pháp chặt (như Anh, Pháp... chẳng hạn). Học những món đó sẽ giúp bản thân mình viết bài rất tốt.

Hy vọng những điều trên sẽ có ích lợi gì đó cho các bạn :)

Kỹ năng dĩ nhiên là cũng rất quan trọng rồi. Tuy nhiên, trong các kỳ thi Olympic thì người ta chú trọng đến tư duy nhiều hơn. Vì vậy những lời giải hình học bằng phương pháp tọa độ thường bị "thị phi", các lời giải quá dài dòng, vét cạn hoặc khai triển cũng vậy. Nếu đã chọn hướng đi này cần phải trình bày hết sức chặt chẽ, chính xác và sáng sủa. Sai một cái là bị gạch bỏ liền. Một vấn đề khác là kỹ năng trình bày. Cái này thì không thể thiếu được. Và bạn có kỹ năng trình bày tốt cũng chứng tỏ là bạn có tư duy tốt.
------------------------------
Rất đồng ý với 99.

Đặc biệt là giỏi ngoại ngữ sẽ giúp chúng ta giỏi tiếng Việt hơn.

Tôi bắt đầu minh họa ý thứ nhất trong lời khuyên của Kanel-Belov và Kovaldzi bằng cách phân tích đề thi VMO 2010. Nếu là cá nhân tôi, tôi sẽ sắp xếp thứ tự làm bài của mình như sau:
1) Bài 2. Bài này hướng đi quá rõ ràng. Trình bày cũng đơn giản. Ở dưới tôi sẽ phân tích rõ các hướng giải quyết và cách trình bày.
2) Bài 1. Bài này đặt ở vị trí bài 1, chắc là không khó.
3) Bài 3. Hình học, dù không phải là sở trường nhưng chắc cũng không khó.
4) Bài 4. Bài này thấy quen quen, vì ít nhất thì tôi cũng biết cái hằng đẳng thức Fibonacci: $ (x^2 + 15y^2)(a^2 + 15b^2) = (xa+15yb)^2 + 15(xb-ya)^2 $. 5) Bài 5. Bài này chắc để làm vào cuối cùng. Tổ hợp thường là khó mà.
Phân tích lời giải bài 1. Lũy thừa n hai vế đẳng thức truy hồi, ta được $ a^n_n = a^{n_1}_{n-1} + 2^{n-1} + 2.3^{n-1) $Từ đây dễ dàng suy ra $ a^n_n = 2^n + 3^n $ Suy ra $a_n = (2^n + 3^n)^{1/n} $ Bây giờ ta chứng minh $a_n $ là dãy số giảm. Có ba hướng suy nghĩ chính
1) Chứng minh $a_n^{n+1} > a_{n+1}^{n+1} $ (khử căn một vế), tức là $a_n(2^n + 3^n) > 2^{n+1}+3^{n+1} $ Điều này tương đương với $(a_n - 2)2^n + (a_n-3)3^n > 0 $ Như vậy chỉ cần chứng minh $a_n > 3 là xong $ mà điều này thì hiển nhiên!
2) Chứng minh $a_n^{n(n+1)} > a_{n+1}^{(n+1)n} $ (khử căn cả hai vế). Trong trường hợp này, ta cần chứng minh $(2^n + 3^n)^{n+1} > (2^{n+1} + 3^{n+1})^{n} $ Khi khai triển ra, chú ý vế trái có $n+2 $ số hạng, còn vế phải có $n+1 $ số hạng, một ý tưởng là chứng minh bằng cách bắt cặp. Nếu làm theo cách này:
1) Phải bắt cặp cho đúng
2) Trình bày chặt chẽ
Trong thực tế nhiều bạn làm theo cách này đã bị trừ điểm hoặc thậm chí không cho điểm vì
1) Bắt cặp sai (dẫn đến các BDT trung gian không đúng)
2) Trình bày ẩu, sơ sài
3) Tính toán nhầm
3) Khảo sát hàm số $f(x) = (2^x+3^x)^{1/x} $ với x > 0và chứng minh hàm số này giảm.
Để chứng minh điều này, ta xét hàm $y = ln f(x) = \frac{ln(2^x+3^x)}{x} $.
Tính đạo hàm y' ta được
$ y = \frac{(2^xln2+3^xln3)x - (2^x+3^x)ln(2^x+3^x)}{x^2(2^x+3^x)} = \frac{2^x(ln2^x - ln(2^x+3^x)) + 3^x(ln3^x - ln(2^x+3^x))}{(2^x+3^x)x^2} <0 $(do $ln2^x < ln(2^x+3^x) $ và $ln(3^x) < ln(2^x+3^x)) $
Vậy y là hàm giảm suy ra f(x) là hàm giảm, suy ra f(n) > f(n+1), tức là $a_n > a_{n+1} $ hay dãy $a_n $ giảm (đpcm). Tôi sẽ tiếp tục phân tích các bài tiếp theo sau.

Cuốn này cộng với mấy cuốn sách của thầy Dũng giới thiếu có ebook tiếng việt không ạ ? Có thì up lên gúp em :D

Tôi tiếp tục phân tích lời giải của mình cho bài toán 3 (bài 2 sau một hồi làm thử thấy chưa tiến triển gì nhiều, chỉ mới đặt x = 2u, y = 2v để rút gọn bớt các hằng số và tìm được nghiệm u = 2, v = 1)
Đầu tiên là tôi vẽ hình. Tôi xét trường hợp A nằm trên cung lớn BC và lệch về phía C. Tôi đặt $BAC = \aplha $. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
Tôi vẽ hình và còn nhớ được mấy điều sau:
1) Về D, E, I. Tam giác DAE vuông tại A và I là trung điểm cạnh huyền.
2) $AH = 2Rcos(\apha) $ không đổi.
Tôi bắt đầu đi chứng minh MN, tức là đường thẳng (d) qua H vuông góc với AI đi qua một điểm cố định. Lý luận đối xứng cho tôi thấy ngay rằng điểm cố định phải nằm trên trung trực của BC. Vì thế tôi gọi X là giao điểm của (d) và trung trực của BC và tôi muốn chứng minh rằng X cố định. Trên trung trực của BC còn có 1 điểm đặc biệt nữa là tâm O đường tròn ngoại tiếp. Muốn chứng minh X cố định tôi cần chứng minh OX không đổi. Bây giờ hình vẽ chính xác của tôi cho phép tôi dự đoán là OA vuông góc AI.
Như thế, tôi đã quy bài toán về việc chứng minh AI vuông góc với OA. Với bài này thì có nhiều cách giải.
1) IA vuông góc OA <=> IA là tiếp tuyến $<=> IA^2 = IC.IB <=> ID^2 = IB.IC (do IA = ID) $. Cái này là hệ thức Newton của hàng điểm điều hòa (BCDE). (Hoặc sử dụng đẳng thức $\frac{DB}{DC} = \frac{EB}{EC} $ (tính chất phân giác) $<=> \frac{IB-ID}{(ID-IC} = \frac{IB + ID}{IC+ID} <=> ID^2 = IB.IC $ (chú ý ID = IE) - đây chính là cách chứng minh hệ thức Newton).
2) Dùng góc: Ta có $AOC = 2B $, suy ra $OAC = 90^0 - B $. Từ đó OAD = 90^0 - B - A/2.
Mặt khác $DAI = IDA = CDA = 180^0 - C - A/2 $.
Suy ra $OAD + DAI = 90^0 - B - A/2 + 180^0 - C - A/2 = 270^0 - (A+B+C) = 90^0 $
Tức là $OAI = 90^0 $ (đpcm).
Bây giờ sang câu 2. Dùng góc ta thấy ngay tam H là trung điểm của MN (cụ thể là các tam giác HAM, HAN) cân. Mà ta lại có $HA = 2Rcos(\alpha) $ không đổi => $MN = 4Rcos(\alpha) $. Suy ra ngay là diện tích tam giác không lớn hơn MN.AH/2. Dấu bằng xảy ra khi AH vuông góc với MN. Vì MN // OA (chứng minh trên) nên điều này tương đương với AH vuông góc OA. Điều này xảy ra khi A trùng với các giao điểm của đường thẳng qua O song song với BC và đường tròn (O).
Vậy là xong. Với bài toán này, chú ý đến các vị trí tương đối của A và nên đặt $\alpha $ là độ lớn của góc chắn cung nhỏ BC. Nếu trong lý luận dùng góc A và đại lượng cosA có thể bị bắt bẻ (khi A tù thì 2RcosA < 0).
Trong mọi trường hợp, tôi đã nói rõ ở trên là xét trường hợp A nằm trên cung nhỏ BC và lệch về phía A. Hình vẽ minh họa được vẽ đúng cho trường hợp này.

Hình như ko có. Mà cuốn Sáng tạo toán học của Polya dày lắm. Nếu bạn rất cần mình sẽ photo gửi cho. Mình ko biết gửi như thế nòa và giá photo cũng khá đắt.
Em thấy khi thi đã nghĩ ra lời giải rồi thì cứ viết luôn vào trong đề thi. Trình bày 1 bài cũng đâu khó đâu. Nhưng phải cụ thể, thường thì ít khi viết kí hiệu mà viết bằng chữ, lỡ người ta ko cho kí hiệu rõ ràng thì chết. :| Tổ hợp thì em ko biết trình bày như thế nào, thầy ND có thể nói rõ hơn ko?